Co to jest wyznacznik?

Matryce to obiekty matematyczne, które przekształcają kształty. Wyznacznik kwadratowej matrycy A, oznaczony | A |, to liczba podsumowująca wpływ A na rozmiar i orientację postaci. Jeśli [ a b ] jest wektorem górnym wierszem dla a i [ c d ] jest jego wektorem dolnym wierszem, to | a | = AD-BC .

Determinant koduje przydatne informacje o tym, jak matryca przekształca regiony. Wartość bezwzględna wyznacznika wskazuje współczynnik skali macierzy, ile rozciąga lub kurczy się. Jego znak opisuje, czy matryca przewraca liczby, dając obraz lustrzany. Matryce mogą również wypaczać regiony i je obracać, ale determinant nie dostarczają tych informacji.

Arytmetycznie działanie transformacji macierzy jest określane przez mnożenie macierzy. Jeśli A jest macierzą 2 × 2 z górnym rzędem [ A B ] i dolnym wierszem [ c d ], to [1 0] * a = [ a b ] i [0 1] a = [ c d ]. Oznacza to, że A zajmuje punkt (1,0) to punkt ( a, b ) i punkt (0,1) do punktu ( c, d ). Wszystkie matryce pozostawiają pochodzenie bez porcji, więc widzi się, że przekształca trójkąt z punktami końcowymi przy (0,0), (0,1) i (1,0) do innego trójkąta z punktami końcowymi przy (0,0), ( a, b ) i ( c, d ). Stosunek tego nowego obszaru trójkąta do oryginalnego trójkąta jest równy | ad-bc |, wartości bezwzględnej | a |.

Znak wyznacznika macierzy opisuje, czy matryca przewraca kształt. Biorąc pod uwagę trójkąt z punktami końcowymi przy (0,0), (0,1) i (1,0), jeśli matryca A utrzymuje punkt stacjonarny (0,1), ponieważ przerzucił punkt (1,0) do punktu (-1,0), przerzuciła trójkąt nad linią x = 0. będzie negatywny. Matryca nie zmienia rozmiaru regionu, więc | a | musi być -1, aby być spójnym z zasadą, że wartość bezwzględna | a | deSkrybuje, ile rozciąga figurę.

Arytmetyka macierzy podąża za prawem asocjacyjnym, co oznacza, że ​​( v *a)*b = v *(a*b). Geometrycznie oznacza to, że połączone działanie najpierw przekształcania kształtu za pomocą macierzy A, a następnie przekształcanie kształtu z matrycą B jest równoważne przekształcaniu oryginalnego kształtu za pomocą produktu (A*B). Można wywnioskować z tej obserwacji, że | a |*| b | = | A*B |.

równanie | a | * | B | = | A*B | ma ważną konsekwencję, gdy | a | = 0. W takim przypadku działanie A nie można cofnąć przez jakąś inną matrycę B. Można to wywnioskować, zauważając, że jeśli A i B były odwrotami, to (a*b) ani nie rozciąga ani nie odwraca żadnego regionu, więc | a*b | = 1. Ponieważ | a | * | B | = | A * b |, ta ostatnia obserwacja prowadzi do niemożliwego równania 0 * | b | = 1.

Można również pokazać roszczenie odwrotne: jeśli A jest kwadratową macierzą z niezerową determinantą, wówczas A ma odwrotność . Geometrycznie jest to działanie każdej matrycy, która nie spłaszczaregion. Na przykład wbijanie kwadratu do segmentu linii może zostać cofnięte przez jakąś inną macierz, zwaną jej odwrotnością. Taka odwrotność jest analogiem matrycy wzajemnego.