Co to jest determinant?

Matryce to obiekty matematyczne, które przekształcają kształty. Wyznacznik kwadratowej macierzy A, oznaczony | A |, jest liczbą, która podsumowuje wpływ A na wielkość i orientację figury. Jeśli [ ab ] jest wektorem górnego rzędu A, a [ cd ] jest wektorem dolnego rzędu, to | A | = ad-bc .

Wyznacznik koduje przydatne informacje o tym, jak macierz przekształca regiony. Wartość bezwzględna wyznacznika wskazuje współczynnik skali macierzy, jak bardzo rozciąga lub zmniejsza figurę. Jego znak opisuje, czy matryca odwraca figury, dając lustrzane odbicie. Macierze mogą również wypaczać regiony i obracać je, ale wyznacznik nie podaje tych informacji.

Arytmetycznie działanie transformujące macierzy jest określane przez mnożenie macierzy. Jeśli A jest macierzą 2 × 2 z górnym wierszem [ ab ] i dolnym wierszem [ cd ], wówczas [1 0] * A = [ ab ] i [0 1] * A = [ cd ]. Oznacza to, że A prowadzi punkt (1,0) do punktu ( a, b ), a punkt (0,1) do punktu ( c, d ). Wszystkie macierze nie ruszają początku, więc widać, że A przekształca trójkąt z punktami końcowymi w (0,0), (0,1) i (1,0) w inny trójkąt z punktami końcowymi w (0,0), ( a , b ) i ( c, d ). Stosunek powierzchni tego nowego trójkąta do pierwotnego trójkąta jest równy | ad-bc |, wartość bezwzględna | A |.

Znak wyznacznika macierzy opisuje, czy macierz odwraca kształt. Biorąc pod uwagę trójkąt z punktami końcowymi w (0,0), (0,1) i (1,0), jeżeli macierz A utrzymuje punkt (0,1) w miejscu, podczas gdy punkt (1,0) przechodzi do punktu (-1,0), a następnie obrócił trójkąt nad linią x = 0. Ponieważ A obrócił figurę, | A | będzie negatywny. Macierz nie zmienia wielkości regionu, więc | A | musi wynosić -1, aby zachować zgodność z zasadą, że wartość bezwzględna | A | opisuje, jak bardzo A rozciąga figurę.

Arytmetyka macierzy jest zgodna z prawem asocjacyjnym, co oznacza, że ​​( v * A) * B = v * (A * B). Geometrycznie oznacza to, że połączone działanie najpierw przekształcenia kształtu za pomocą macierzy A, a następnie przekształcenia kształtu za pomocą macierzy B jest równoważne przekształceniu pierwotnego kształtu za pomocą produktu (A * B). Z tej obserwacji można wywnioskować, że | A | * | B | = | A * B |.

Równanie | A | * | B | = | A * B | ma ważną konsekwencję, gdy | A | = 0. W takim przypadku działanie A nie może zostać cofnięte przez inną matrycę B. Można to wywnioskować, zauważając, że jeśli A i B były odwrócone, to (A * B) nie rozciąga ani nie odwraca żadnego obszaru, więc | A * B | = 1. Ponieważ | A | * | B | = | A * B | ta ostatnia obserwacja prowadzi do niemożliwego równania 0 * | B | = 1.

Przeciwne twierdzenie można również wykazać: jeśli A jest macierzą kwadratową z niezerową determinantą, to A ma odwrotność . Geometrycznie jest to działanie dowolnej matrycy, która nie spłaszcza regionu. Na przykład wyciskanie kwadratu na segment linii może zostać cofnięte przez inną macierz, zwaną odwrotnością. Taką odwrotnością jest macierzowy analog odwrotności.