O que é um determinante?

Matrizes

são objetos matemáticos que transformam formas. O determinante de uma matriz quadrada A, denotada | a |, é um número que resume o efeito que a tem no tamanho e orientação de uma figura. Se [ a b ] for o vetor da linha superior para a e [ c d ] é o seu vetor de linha inferior, então | a | = ad-bc .

Um determinante codifica informações úteis sobre como uma matriz transforma regiões. O valor absoluto do determinante indica o fator de escala da matriz, quanto ele se estende ou diminui uma figura. Seu sinal descreve se a matriz vira os figuras, produzindo uma imagem espelhada. As matrizes também podem distorcer as regiões e girá -las, mas essas informações não são fornecidas pelo determinante.

aritmeticamente, a ação transformadora de uma matriz é determinada pela multiplicação da matriz. Se A é uma matriz 2 × 2 com linha superior [ a b ] e linha inferior [ c d ], então [1 0] * a = [ a b ] e [0 1] * a = [ c d ]. Isso significa que a leva o ponto (1,0) to o ponto ( a, b ) e o ponto (0,1) até o ponto ( c, d ). Todas as matrizes deixam a origem inocente, então se vê que A transforma o triângulo com pontos de extremidade em (0,0), (0,1) e (1,0) em outro triângulo com pontos de extremidade em (0,0), ( a, b ) e ( c, d ). A proporção dessa nova área do triângulo para o triângulo original é igual a | ad-bc |, o valor absoluto de | a |.

O sinal do determinante de uma matriz descreve se a matriz vira uma forma. Considerando o triângulo com pontos de extremidade em (0,0), (0,1) e (1,0), se uma matriz A mantiver o ponto (0,1) estacionário ao levar o ponto (1,0) até o ponto (-1,0), ele inflamou o Triangle sobre a linha x = 0. será negativo. A matriz não muda o tamanho de uma região, então | a | Deve ser -1 para ser consistente com a regra de que o valor absoluto de | a | deescriba o quanto um estica uma figura.

A aritmética da matriz segue a lei associativa, o que significa que ( v *a)*b = v *(a*b). Geometricamente, isso significa que a ação combinada de transformar primeiro uma forma com a matriz A e depois transformar a forma com a matriz B é equivalente a transformar a forma original com o produto (A*B). Pode -se deduzir desta observação de que | a |*| B | = | A*b |.

A equação | a | * | B | = | A*b | tem uma consequência importante quando | a | B. = 1. Desde | A | * | B | = | A * B |, Esta última observação leva à equação impossível 0 * | B | = 1.

A reivindicação CONVERSE também pode ser mostrada: se A for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero, a A tem um inverso . Geometricamente, esta é a ação de qualquer matriz que não achate umregião. Por exemplo, esmagar um quadrado em um segmento de linha pode ser desfeito por outra matriz, chamada seu inverso. Tal inverso é o análogo da matriz de um recíproco.