O que é um determinante?

Matrizes são objetos matemáticos que transformam formas. O determinante de uma matriz quadrada A, denotada | A |, é um número que resume o efeito que A tem no tamanho e na orientação de uma figura. Se [ ab ] for o vetor da linha superior de A e [ cd ] for o vetor da linha inferior, | | | | = ad-bc .

Um determinante codifica informações úteis sobre como uma matriz transforma regiões. O valor absoluto do determinante indica o fator de escala da matriz, quanto ela estica ou diminui uma figura. Seu sinal descreve se a matriz vira figuras, produzindo uma imagem espelhada. As matrizes também podem inclinar regiões e girá-las, mas essas informações não são fornecidas pelo determinante.

Aritmeticamente, a ação transformadora de uma matriz é determinada pela multiplicação da matriz. Se A for uma matriz 2 × 2 com a linha superior [ ab ] e a linha inferior [ cd ], então [1 0] * A = [ ab ] e [0 1] * A = [ cd ]. Isso significa que A leva o ponto (1,0) ao ponto ( a, b ) e o ponto (0,1) ao ponto ( c, d ). Todas as matrizes deixam a origem inalterada, de modo que se vê que A transforma o triângulo com pontos finais em (0,0), (0,1) e (1,0) em outro triângulo com pontos finais em (0,0), ( a , b ) e ( c, d ). A proporção da área desse novo triângulo com a do triângulo original é igual a | ad-bc |, o valor absoluto de | A |.

O sinal do determinante da matriz descreve se a matriz vira uma forma. Considerando o triângulo com pontos finais em (0,0), (0,1) e (1,0), se uma matriz A mantém o ponto (0,1) estacionário enquanto leva o ponto (1,0) ao ponto (-1,0), então ele virou o triângulo sobre a linha x = 0. Como A virou o número, | A | será negativo. A matriz não altera o tamanho de uma região, portanto | A | deve ser -1 para ser consistente com a regra de que o valor absoluto de | A | descreve quanto A estica uma figura.

A aritmética matricial segue a lei associativa, o que significa que ( v * A) * B = v * (A * B). Geometricamente, isso significa que a ação combinada de primeiro transformar uma forma com a matriz A e depois transformar a forma com a matriz B é equivalente a transformar a forma original com o produto (A * B). Pode-se deduzir dessa observação que | A | * | B | = | A * B |.

A equação | A | * | B | = | A * B | tem uma conseqüência importante quando | A | = 0. Nesse caso, a ação de A não pode ser desfeita por outra matriz B. Isso pode ser deduzido observando que se A e B foram inversos, (A * B) não estica nem vira nenhuma região, portanto | A * B = 1. Desde que | A | * | B | = | A * B |, esta última observação leva à equação impossível 0 * | B | = 1.

A reivindicação inversa também pode ser mostrada: se A é uma matriz quadrada com determinante diferente de zero, então A tem um inverso . Geometricamente, esta é a ação de qualquer matriz que não achatar uma região. Por exemplo, esmagar um quadrado em um segmento de linha pode ser desfeito por outra matriz, chamada inversa. Tal inverso é o análogo da matriz de um recíproco.