¿Qué es un determinante?
Las matrices son objetos matemáticos que transforman formas. El determinante de una matriz cuadrada A, denotada | a |, es un número que resume el efecto que tiene en el tamaño y la orientación de una figura. Si [ a b ] es el vector de la fila superior para A y [ c d ] es su vector de fila inferior, entonces | a | = AD-BC .
Un determinante codifica información útil sobre cómo una matriz transforma las regiones. El valor absoluto del determinante indica el factor de escala de la matriz, cuánto se extiende o encoge una figura. Su signo describe si la matriz se mueve, produciendo una imagen de espejo. Las matrices también pueden sesgar regiones y rotarlas, pero el determinante no proporciona esta información.
aritéticamente, la acción de transformación de una matriz está determinada por la multiplicación de la matriz. Si A es una matriz 2 × 2 con la fila superior [ a b ] y la fila inferior [ c d ], entonces [1 0] * a = [ a b ] y [0 1] * a = [ c d ]. Esto significa que A toma el punto (1,0) to El punto ( a, b ) y el punto (0,1) al punto ( c, d ). Todas las matrices dejan el origen inmóvil, por lo que se ve que A transforma el triángulo con puntos finales en (0,0), (0,1) y (1,0) a otro triángulo con puntos finales en (0,0), ( A, B ) y ( C, D ). La relación entre el área de este nuevo triángulo al triángulo original es igual a | ad-bc |, el valor absoluto de | a |.
El signo del determinante de una matriz describe si la matriz voltea una forma. Teniendo en cuenta el triángulo con puntos finales en (0,0), (0,1) y ((1,0), si una matriz A mantiene el punto (0,1) estacionaria mientras toma el punto (1,0) al punto (-1,0), entonces ha volteado el triángulo sobre la línea x = 0. Dado que ha volteado la figura, | a | será negativo. La matriz no cambia el tamaño de una región, así que | a | debe ser -1 para ser consistente con la regla de que el valor absoluto de | a | Delawareescribe cuánto se extiende una figura.
La aritmética de la matriz sigue la ley asociativa, lo que significa que ( v *a)*b = v *(a*b). Geométricamente, esto significa que la acción combinada de transformar primero una forma con la matriz A y luego transformar la forma con la matriz B es equivalente a transformar la forma original con el producto (A*B). Uno puede deducir de esta observación que | A |*| B | = | A*b |.
la ecuación | a | * | B | = | A*b | tiene una consecuencia importante cuando | a | = 0. En ese caso, la acción de A no puede ser deshacida por alguna otra matriz B. Esto se puede deducir señalando que si A y B eran inversos, entonces (a*b) ni estiras ni voltean ninguna región, entonces | a*b | = 1. Desde | a | * | B | = | A * b |, esta última observación conduce a la ecuación imposible 0 * | B | = 1.
También se puede mostrar el reclamo contrario: si a es una matriz cuadrada con determinante distinto de cero, entonces A tiene un inverso . Geométricamente, esta es la acción de cualquier matriz que no aplana unregión. Por ejemplo, aplastar un cuadrado en un segmento de línea puede ser deshecho por alguna otra matriz, llamada inverso. Tal inverso es el análogo de la matriz de un recíproco.