Hva er en bestemmende?

Matriser er matematiske objekter som forvandler former. Determinanten for en firkantet matrise A, betegnet | A |, er et tall som oppsummerer effekten A har på en figurs størrelse og retning. Hvis [ ab ] er den øverste radvektoren for A og [ cd ] er den nederste radvektoren, er | A | = ad-bc .

En determinant koder nyttig informasjon om hvordan en matrise transformerer regioner. Den absolutte verdien til determinanten indikerer matrisens skalafaktor, hvor mye den strekker eller krymper en figur. Tegnet beskriver om matrisen vipper figurer over, og gir et speilbilde. Matriser kan også skje regioner og rotere dem, men denne informasjonen er ikke gitt av determinanten.

Aritmetisk bestemmes den transformerende handlingen til en matrise ved matrise-multiplikasjon. Hvis A er en 2 × 2 matrise med øverste rad [ ab ] og bunnrekke [ cd ], da [1 0] * A = [ ab ] og [0 1] * A = [ cd ]. Dette betyr at A tar punktet (1,0) til punktet ( a, b ) og punktet (0,1) til punktet ( c, d ). Alle matriser lar opprinnelsen ikke flyttes, slik at man ser at A transformerer trekanten med endepunktene ved (0,0), (0,1) og (1,0) til en annen trekant med endepunktene på (0,0), ( a , b ) og ( c, d ). Forholdet mellom denne nye trekantens areal og den originale trekantens er lik | ad-bc |, den absolutte verdien av | A |.

Tegnet på en matrisens determinant beskriver om matrisen vipper en form over. Tatt i betraktning trekanten med endepunktene på (0,0), (0,1) og (1,0), hvis en matrise A holder punktet (0,1) stasjonært mens du tar punktet (1,0) til punktet (-1,0), så har den vendt trekanten over linjen x = 0. Siden A har snudd figuren over, | A | vil være negativ. Matrisen endrer ikke størrelsen på et område, så | A | må være -1 for å være i samsvar med regelen om at den absolutte verdien av | A | beskriver hvor mye A strekker en figur.

Matrise aritmetikk følger den assosiative loven, og betyr at ( v * A) * B = v * (A * B). Geometrisk betyr dette at kombinert handling av å først transformere en form med matrise A og deretter transformere formen med matrise B tilsvarer transformering av den opprinnelige formen med produktet (A * B). Man kan utlede av denne observasjonen at | A | * | B | = | A * B |.

Ligningen | A | * | B | = | A * B | har en viktig konsekvens når | A | = 0. I så fall kan ikke handlingen til A bli angrepet av noen annen matrise B. Dette kan trekkes ut ved å merke seg at hvis A og B var inverses, så (A * B) verken strekker eller vipper noe område, så | A * B | = 1. Siden | A | * | B | = | A * B |, denne siste observasjonen fører til den umulige ligningen 0 * | B | = 1.

Omvendt påstand kan også vises: hvis A er en firkantet matrise med ikke-bestemt determinant, har A en invers . Geometrisk er dette handlingen til enhver matrise som ikke flater ut et område. For eksempel kan klemme en firkant i et linjesegment bli angrepet av en annen matrise, kalt dens inverse. En slik invers er matriksanalogen til en gjensidig.