Vad är en bestämmande?
Matriser är matematiska föremål som transformerar former. Determinanten för en kvadratmatris A, betecknad | A |, är ett tal som sammanfattar effekten A har på en figurs storlek och orientering. Om [ ab ] är den övre radvektorn för A och [ cd ] är dess nedre radvektor, är | A | = ad-bc .
En determinant kodar användbar information om hur en matris transformerar regioner. Determinantens absoluta värde indikerar matrisens skalfaktor, hur mycket den sträcker eller krymper en siffra. Dess tecken beskriver om matrisen vänder figurer över, vilket ger en spegelbild. Matriser kan också skeva regioner och rotera dem, men denna information tillhandahålls inte av determinanten.
Aritmetiskt bestäms den transformerande verkan av en matris genom matrismultiplikation. Om A är en 2 × 2-matris med den övre raden [ ab ] och den nedre raden [ cd ], då [1 0] * A = [ ab ] och [0 1] * A = [ cd ]. Detta betyder att A tar punkten (1,0) till punkten ( a, b ) och punkten (0,1) till punkten ( c, d ). Alla matriser lämnar ursprunget obehagligt, så man ser att A förvandlar triangeln med ändpunkter vid (0,0), (0,1) och (1,0) till en annan triangel med ändpunkter vid (0,0), ( a , b ) och ( c, d ). Förhållandet mellan den nya triangelns yta och den ursprungliga triangeln är lika med | ad-bc |, det absoluta värdet på | A |.
Tecknet på en matrisens determinant beskriver om matrisen vänder en form över. Med tanke på triangeln med ändpunkter vid (0,0), (0,1) och (1,0), om en matris A håller punkten (0,1) stationär medan du tar punkten (1,0) till punkten (-1,0), sedan har den vippat triangeln över linjen x = 0. Eftersom A har vänt figuren över, | A | kommer att vara negativa. Matrisen ändrar inte storleken på en region, så | A | måste vara -1 för att överensstämma med regeln att det absoluta värdet på | A | beskriver hur mycket A sträcker en figur.
Matrixaritmetik följer den associativa lagen, vilket betyder att ( v * A) * B = v * (A * B). Geometriskt betyder detta att kombinerad handling av att först transformera en form med matris A och sedan transformera formen med matris B motsvarar transformeringen av den ursprungliga formen med produkten (A * B). Man kan dra slutsatsen från denna iakttagelse att | A | * | B | = | A * B |.
Ekvationen | A | * | B | = | A * B | har en viktig konsekvens när | A | = 0. I så fall kan A: s åtgärd inte ångras av någon annan matris B. Detta kan härledas genom att notera att om A och B var inverser, (A * B) varken sträcker eller vänder något område, så | A * B | = 1. Eftersom | A | * | B | = | A * B |, denna sista observation leder till den omöjliga ekvationen 0 * | B | = 1.
Samtalskravet kan också visas: om A är en kvadratmatris med icke-noll-determinant, har A en invers . Geometriskt är detta handlingen för varje matris som inte plattar ut ett område. Exempelvis kan squishing en kvadrat i ett linjesegment ångras av någon annan matris, kallad dess omvända. En sådan invers är matrisanalogen av en ömsesidig.