Wat is een determinant?

Matrices zijn wiskundige objecten die vormen transformeren. De determinant van een vierkante matrix A, aangeduid met | A |, is een getal dat het effect van A op de grootte en oriëntatie van een figuur samenvat. Als [ ab ] de bovenste rij-vector is voor A en [ cd ] de onderste rij-vector is, dan | A | = ad-bc .

Een determinant codeert voor nuttige informatie over hoe een matrix regio's transformeert. De absolute waarde van de determinant geeft de schaalfactor van de matrix aan, hoeveel deze een figuur uitrekt of krimpt. Het teken beschrijft of de matrix omvalt en een spiegelbeeld oplevert. Matrices kunnen ook regio's scheeftrekken en roteren, maar deze informatie wordt niet door de determinant verstrekt.

Rekenkundig wordt de transformerende werking van een matrix bepaald door matrixvermenigvuldiging. Als A een 2x2 matrix is ​​met de bovenste rij [ ab ] en de onderste rij [ cd ], dan [1 0] * A = [ ab ] en [0 1] * A = [ cd ]. Dit betekent dat A het punt (1,0) naar het punt ( a, b ) en het punt (0,1) naar het punt ( c, d ) brengt. Alle matrices laten de oorsprong ongewijzigd, dus ziet men dat A de driehoek met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0) transformeert naar een andere driehoek met eindpunten op (0,0), ( a , b ) en ( c, d ). De verhouding tussen het gebied van deze nieuwe driehoek en de oorspronkelijke driehoek is gelijk aan | ad-bc |, de absolute waarde van | A |.

Het teken van de determinant van een matrix beschrijft of de matrix een vorm omdraait. Beschouw de driehoek met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0), als een matrix A het punt (0,1) stationair houdt terwijl het punt (1,0) naar het punt wordt gebracht (-1,0), dan heeft het de driehoek omgedraaid over de lijn x = 0. Aangezien A de figuur heeft omgedraaid, | A | zal negatief zijn. De matrix verandert de grootte van een regio niet, dus | A | moet -1 zijn om consistent te zijn met de regel dat de absolute waarde van | A | beschrijft hoeveel A een figuur uitrekt.

Matrix rekenen volgt de associatieve wet, wat betekent dat ( v * A) * B = v * (A * B). Geometrisch betekent dit dat de gecombineerde actie van het eerst transformeren van een vorm met matrix A en vervolgens het transformeren van de vorm met matrix B equivalent is aan het transformeren van de oorspronkelijke vorm met het product (A * B). Uit deze waarneming kan worden afgeleid dat | A | * | B | = | A * B |.

De vergelijking | A | * | B | = | A * B | heeft een belangrijk gevolg wanneer | A | = 0. In dat geval kan de actie van A niet ongedaan worden gemaakt door een andere matrix B. Dit kan worden afgeleid door op te merken dat als A en B invers waren, dan (A * B) geen regio uitrekt of omkeert, dus | A * B | = 1. Sinds | A | * | B | = | A * B |, deze laatste waarneming leidt tot de onmogelijke vergelijking 0 * | B | = 1.

De omgekeerde claim kan ook worden weergegeven: als A een vierkante matrix is ​​met een niet-nulbepalende factor, dan heeft A een inverse . Geometrisch is dit de actie van elke matrix die een gebied niet afvlakt. Het squishen van een vierkant in een lijnsegment kan bijvoorbeeld door een andere matrix ongedaan worden gemaakt. Een dergelijke inverse is het matrixanalogon van een reciproke.