Wat is een determinant?

Matrices zijn wiskundige objecten die vormen transformeren. De bepalende factor van een vierkante matrix A, aangegeven | a |, is een getal dat het effect van een figuur samenvat op de grootte en oriëntatie van een figuur. Als [ a b ] de bovenste rijvector is voor a en [ c d ] is de onderste rij vector, dan | a | = AD-BC .

Een bepalende factor codeert voor nuttige informatie over hoe een matrix regio's transformeert. De absolute waarde van de determinant geeft de schaalfactor van de matrix aan, hoeveel deze een figuur uitrekt of verkleind. Het bord beschrijft of de matrix omdraait, waardoor een spiegelafbeelding wordt opgeleverd. Matrices kunnen ook regio's schiepen en roteren, maar deze informatie wordt niet verstrekt door de determinant.

Rekenkundig wordt de transformerende werking van een matrix bepaald door matrixvermenigvuldiging. Als a een 2 × 2 -matrix is ​​met bovenste rij [ a b ] en onderste rij [ c d ], dan [1 0] * a = [ a b ] en [0 1] * a = [ c d ]. Dit betekent dat A het punt (1,0) T neemto Het punt ( a, b ) en het punt (0,1) tot het punt ( c, d ). Alle matrices laten de oorsprong onbewogen, dus men ziet dat A de driehoek transformeert met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0) naar een andere driehoek met eindpunten op (0,0), ( a, b ) en ( c, d ). De verhouding van het gebied van deze nieuwe driehoek tot de oorspronkelijke driehoek is gelijk aan | ad-bc |, de absolute waarde van | a |.

Het teken van de determinant van een matrix beschrijft of de matrix een vorm omdraait. Beschouwt de driehoek met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0), als een matrix A het punt (0,1) stationair houdt terwijl het punt (1,0) naar het punt (-1,0) wordt gebracht, heeft het de driehoek over de lijn x = 0. zal negatief zijn. De matrix verandert niet de grootte van een regio, dus | a | moet -1 zijn om consistent te zijn met de regel dat de absolute waarde van | a | deSchrijft hoeveel A een figuur rekt.

Matrix Arithmetic volgt de associatieve wet, wat betekent dat ( v *a)*b = v *(a*b). Geometrisch betekent dit dat gecombineerde werking van het eerst transformeren van een vorm met matrix A en vervolgens het transformeren van de vorm met matrix B gelijkwaardig is aan het transformeren van de oorspronkelijke vorm met het product (a*b). Men kan uit deze observatie afleiden dat | a |*| b | = | A*b |.

De vergelijking | a | * | B | = | A*B | heeft een belangrijk gevolg wanneer | a | = 0. In dat geval kan de actie van A niet worden ongedaan gemaakt door een andere matrix B. Dit kan worden afgeleid door op te merken dat als A en B omgekeerd waren, dan (a*b) geen regio uitrekt of omdraait, dus | a*b | = 1. Sinds | a | * | B | = | A * B |, Deze laatste observatie leidt tot de onmogelijke vergelijking 0 * | B | = 1.

De omgekeerde claim kan ook worden getoond: als a een vierkante matrix is ​​met niet -nul determinant, dan heeft a een inverse . Geometrisch, dit is de actie van elke matrix die geen afvlaktregio. Het persen van een vierkant in een lijnsegment kan bijvoorbeeld ongedaan worden gemaakt door een andere matrix, het inverse genoemd. Een dergelijke inverse is de matrixanaloog van een wederkerige.