Qu'est-ce qu'un déterminant?
Les matrices sont des objets mathématiques qui transforment des formes. Le déterminant d'une matrice carrée A, noté | A |, est un nombre qui résume l'effet que A a sur la taille et l'orientation d'une figure. Si [ ab ] est le vecteur de la rangée supérieure pour A et que [ cd ] est le vecteur de la rangée inférieure, alors | A | = ad-bc .
Un déterminant code des informations utiles sur la manière dont une matrice transforme des régions. La valeur absolue du déterminant indique le facteur d'échelle de la matrice, son étendue ou sa réduction. Son signe indique si la matrice bascule les chiffres, produisant une image miroir. Les matrices peuvent également incliner des régions et les faire pivoter, mais cette information n’est pas fournie par le déterminant.
Arithmétiquement, l'action transformante d'une matrice est déterminée par la multiplication de la matrice. Si A est une matrice 2 × 2 avec la rangée supérieure [ ab ] et la rangée inférieure [ cd ], alors [1 0] * A = [ ab ] et [0 1] * A = [ cd ]. Cela signifie que A prend le point (1,0) jusqu'au point ( a, b ) et le point (0,1) au point ( c, d ). Toutes les matrices ne modifient pas l'origine. On voit donc que A transforme le triangle avec les extrémités à (0,0), (0,1) et (1,0) en un autre triangle avec les extrémités à (0,0), ( a , b ) et ( c, d ). Le rapport de l'aire de ce nouveau triangle à celui du triangle d'origine est égal à | ad-bc |, la valeur absolue de | A |.
Le signe du déterminant de la matrice indique si la matrice retourne une forme. Considérant le triangle avec les extrémités à (0,0), (0,1) et (1,0), si une matrice A maintient le point (0,1) immobile tout en prenant le point (1,0) jusqu'au point (-1,0), alors il a retourné le triangle sur la ligne x = 0. Puisque A a retourné le chiffre, | A | sera négatif. La matrice ne change pas la taille d'une région, donc | A | doit être -1 pour être cohérent avec la règle selon laquelle la valeur absolue de | A | décrit combien A étend une figure.
L'arithmétique matricielle suit la loi associative, ce qui signifie que ( v * A) * B = v * (A * B). Géométriquement, cela signifie que l'action combinée de transformer d'abord une forme avec la matrice A puis de transformer la forme avec la matrice B équivaut à transformer la forme d'origine avec le produit (A * B). On peut en déduire que | A | * | B | = | A * B |.
L'équation | A | * | B | = | A * B | a une conséquence importante lorsque | A | = 0. Dans ce cas, l'action de A ne peut pas être annulée par une autre matrice B. Ceci peut être déduit en notant que si A et B sont inverses, alors (A * B) ne s'étire ni ne retourne aucune région, donc | A * B | = 1. Depuis | A | * | B | = | A * B |, cette dernière observation conduit à l'équation impossible 0 * | B | = 1.
La revendication inverse peut également être montrée: si A est une matrice carrée avec un déterminant différent de zéro, alors A a une inverse . Géométriquement, il s’agit de l’action d’une matrice quelconque qui n’aplatit pas une région. Par exemple, écraser un carré en un segment de ligne peut être annulé par une autre matrice, appelée son inverse. Un tel inverse est l'analogue matriciel d'une réciproque.