Hvad er en bestemmende?
Matrixer er matematiske objekter, der transformerer former. Determinanten af en firkantet matrix A, betegnet | A |, er et tal, der opsummerer effekten A har på en figurs størrelse og orientering. Hvis [ ab ] er den øverste rækkevektor for A og [ cd ] er dens nederste rækkevektor, er | A | = ad-bc .
En determinant koder nyttig information om, hvordan en matrix transformerer regioner. Den absolutte værdi af determinanten angiver matrixens skalafaktor, hvor meget den strækker eller krymper en figur. Dens tegn beskriver, om matrixen vender figurer over, hvilket giver et spejlbillede. Matrixer kan også skeve regioner og rotere dem, men denne information leveres ikke af determinanten.
Aritmetisk bestemmes en matrixs transformerende virkning ved matrixmultiplikation. Hvis A er en 2 × 2 matrix med øverste række [ ab ] og nederste række [ cd ], er [1 0] * A = [ ab ] og [0 1] * A = [ cd ]. Dette betyder, at A fører punktet (1,0) til punktet ( a, b ) og punktet (0,1) til punktet ( c, d ). Alle matrixer forlader oprindelsen uden at blive flyttet, så man ser, at A omdanner trekanten med endepunkter ved (0,0), (0,1) og (1,0) til en anden trekant med endepunkter ved (0,0), ( a , b ) og ( c, d ). Forholdet mellem denne nye trekants areal og den originale trekants størrelse er lig med | ad-bc |, den absolutte værdi af | A |.
Tegnet på en matrixs determinant beskriver, om matrixen vipper en form over. I betragtning af trekanten med endepunkter på (0,0), (0,1) og (1,0), hvis en matrix A holder punktet (0,1) stationært, mens punktet (1,0) bringes til punktet (-1,0), så har den vippet trekanten over linjen x = 0. Da A har vendt figuren over, | A | vil være negativ. Matrixen ændrer ikke størrelsen på en region, så | A | skal være -1 for at være i overensstemmelse med reglen om, at den absolutte værdi af | A | beskriver hvor meget A strækker en figur.
Matrixaritmetik følger den associerende lov, hvilket betyder, at ( v * A) * B = v * (A * B). Geometrisk betyder dette, at kombineret handling ved først at transformere en form med matrix A og derefter transformere formen med matrix B svarer til at transformere den originale form med produktet (A * B). Man kan udlede af denne observation, at | A | * | B | = | A * B |.
Ligningen | A | * | B | = | A * B | har en vigtig konsekvens, når | A | = 0. I så fald kan handlingen af A ikke fortrydes af en anden matrix B. Dette kan udledes ved at bemærke, at hvis A og B var inverses, så (A * B) hverken strækker eller vipper noget område, så | A * B | = 1. Da | A | * | B | = | A * B |, denne sidste observation fører til den umulige ligning 0 * | B | = 1.
Omvendt påstand kan også vises: hvis A er en firkantet matrix med ikke-nøjagtig determinant, har A en invers . Geometrisk er dette handlingen for enhver matrix, der ikke udflader et område. For eksempel kan en kvadrat i et linjesegment fortrydes af en anden matrix, kaldet dens inverse. En sådan invers er matrixanalog af en gensidig.