결정 요인이란 무엇입니까?

행렬은 모양을 변형시키는 수학적 객체입니다. | A |로 표시된 정사각 행렬 A의 결정 요인은 A가 그림의 크기와 방향에 미치는 영향을 요약하는 숫자입니다. [ ab ]가 A의 최고 행 벡터이고 [ cd ]가 최하의 행 벡터이면 | A | = ad-bc

행렬식은 행렬이 영역을 변환하는 방법에 대한 유용한 정보를 인코딩합니다. 행렬식의 절대 값은 행렬의 배율, 수치가 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 나타냅니다. 그 부호는 행렬이 도형을 뒤집어 거울 이미지를 생성하는지 여부를 나타냅니다. 행렬은 영역을 기울이고 회전시킬 수도 있지만이 정보는 결정자가 제공하지 않습니다.

산술적으로, 행렬의 변환 작용은 행렬 곱셈에 의해 결정된다. A가 상단 행 [ ab ] 및 하단 행 [ cd ]을 갖는 2 × 2 행렬 인 경우 [1 0] * A = [ ab ] 및 [01] * A = [ cd ]입니다. 이는 A가 점 (1,0)을 점 ( a, b )로, 점 (0,1)을 점 ( c, d )로 가져갑니다. 모든 행렬은 원점을 그대로 유지하므로 A는 (0,0), (0,1) 및 (1,0)에 끝 점이있는 삼각형을 (0,0)에 끝 점이있는 다른 삼각형으로 변환 하는 것을 알 수 있습니다. , b ) 및 ( c, d ). 이 새 삼각형 영역과 원래 삼각형의 비율은 | ad-bc |, | A |의 절대 값.

행렬 결정의 부호는 행렬이 도형을 뒤집는 지 여부를 나타냅니다. (0,0), (0,1) 및 (1,0)에 끝 점이있는 삼각형을 고려할 때, 행렬 A가 점 (1,0)을 점으로 가져 가면서 점 (0,1)을 정지 상태로 유지하는 경우 (-1,0), x = 0 선을 따라 삼각형을 뒤집 었습니다. A가 그림을 뒤집 었으므로 | A | 부정적인 것입니다. 행렬은 영역의 크기를 변경하지 않으므로 | A | | A |의 절대 값이라는 규칙과 일치하려면 -1이어야합니다. A가 그림을 얼마나 늘릴 수 있는지 설명합니다.

행렬 산술은 ( v * A) * B = v * (A * B)를 의미하는 연관 법칙을 따릅니다. 기하학적으로, 이는 먼저 모양을 행렬 A로 변환 한 다음 모양을 행렬 B로 변환하는 결합 된 동작은 원래 모양을 곱 (A * B)으로 변환하는 것과 같습니다. 이 관찰로부터 | A | * | B | = | A * B |.

방정식 | A | * | B | = | A * B | | A | 이 경우 A의 동작을 다른 행렬 B로 취소 할 수 없습니다. A와 B가 역인 경우 (A * B)는 어떤 영역도 늘어나거나 뒤집지 않으므로 | A *로 추론 할 수 있습니다. B | = 1. 이후 | A | * | B | = | A * B |,이 마지막 관측으로 불가능한 방정식 0 * | B | = 1.

반대 주장도 표시 될 수 있습니다. A가 0이 아닌 결정자를 갖는 정사각 행렬 인 경우 A는 역함수를 갖습니다. 기하학적으로 이것은 영역을 평평하게하지 않는 모든 행렬의 동작입니다. 예를 들어, 정사각형을 선분으로 나누는 것은 그 역행렬이라고 불리는 다른 행렬에 의해 취소 될 수 있습니다. 이러한 역수는 역수의 행렬 유사체입니다.