決定要因とは

行列は、形状を変換する数学的なオブジェクトです。 | A |と表記される正方行列Aの行列式は、Aが図形のサイズと方向に与える影響を要約した数値です。 [ ab ]がAの上の行ベクトルであり、[ cd ]がその下の行ベクトルである場合、| A | = ad-bc 。

行列式は、マトリックスが領域を変換する方法に関する有用な情報をエンコードします。 行列式の絶対値は、行列のスケールファクター、それが図形をどの程度伸縮させるかを示します。 その記号は、マトリックスが図を裏返し、鏡像を生成するかどうかを示します。 行列は領域を傾斜させて回転させることもできますが、この情報は行列式によって提供されません。

算術的には、行列の変換アクションは行列の乗算によって決定されます。 Aが上行[ ab ]と下行[ cd ]の2×2行列の場合、[1 0] * A = [ ab ]および[0 1] * A = [ cd ]です。 これは、Aがポイント（1,0）をポイント（ a、b ）に、ポイント（0,1）をポイント（ c、d ）に持つことを意味します。 すべての行列は原点を動かさないため、Aは（0,0）、（0,1）、および（1,0）の端点を持つ三角形を（0,0）の端点を持つ三角形に変換することがわかります（ a 、b ）、および（ c、d ）。 この新しい三角形の面積と元の三角形の面積の比率は、|に等しい ad-bc |、| A |の絶対値。

マトリックスの行列式の符号は、マトリックスが形状を反転するかどうかを示します。 （0,0）、（0,1）、および（1,0）に端点がある三角形を考えると、マトリックスAがポイント（0,1）を静止させ、ポイント（1,0）をポイントに持って行く場合（-1,0）、ラインx = 0で三角形を反転しました。Aが図形を反転したため、| A | 負になります。 マトリックスは領域のサイズを変更しないため、| A | | A |の絶対値という規則と一致するためには、-1でなければなりません。 Aが図をどれだけ引き伸ばすかを記述します。

行列演算は連想則に従います。つまり、（ v * A）* B = v *（A * B）です。 幾何学的に、これは、最初にマトリックスAで形状を変換し、次にマトリックスBで形状を変換する組み合わせアクションが、製品（A * B）で元の形状を変換することと同等であることを意味します。 この観察から| A | * | B | = | A * B |。

方程式| A | * | B | = | A * B | | A |の場合に重要な結果をもたらします =0。その場合、Aのアクションは他の行列Bで元に戻すことはできません。これは、AとBが逆の場合、（A * B）領域の伸縮も反転もしないことに注意して推測できます。 B | = 1 | A |以降 * | B | = | A * B |、この最後の観測は不可能な方程式0 * | B |を導きます。 = 1。

逆の主張を示すこともできます。Aが非ゼロの行列式を持つ正方行列の場合、Aには逆行列があります。 幾何学的に、これは領域を平坦化しないマトリックスのアクションです。 たとえば、正方形を線分に押しつぶすことは、その逆行列と呼ばれる他のマトリックスによって元に戻すことができます。 このような逆行列は、逆行列の類似体です。