決定要因とは何ですか？

マトリックスは、形を変換する数学的オブジェクトです。 | a |と表示された正方行列Aの決定要因は、Aが図のサイズと方向に与える効果を要約する数字です。 [ a b ]がaおよび[ c d ]の一番上の行ベクトルである場合、その一番下行ベクトル、| a | = ad-bc 。

決定要因は、マトリックスが領域をどのように変換するかについての有用な情報をエンコードします。決定要因の絶対値は、マトリックスのスケール係数、それがどれだけ伸びるか、縮小するかを示します。その標識は、マトリックスが図をひっくり返すかどうかを説明し、鏡像を生み出します。マトリックスは領域を歪めて回転させることもできますが、この情報は決定要因によって提供されません。

算術的に、マトリックスの変換作用はマトリックスの乗算によって決定されます。 aが上の行[ a b ]と下の行[ c d ]を備えた2×2行列である場合、[1 0] * a = [ a b ]および[0 1] * a = [ c d ]。これは、Aがポイント（1,0）tを取ることを意味しますoポイント（ a、b ）とポイント（0,1）へのポイント（ c、d ）。すべてのマトリックスは起源を動かないままにしているため、エンドポイントを（0,0）、（0,1）、および（1,0）でエンドポイントを持つ三角形を（0,0）、（ a、b ）、および（ c、d ）のエンドポイントを持つ別の三角形に変換することがわかります。この新しい三角形の領域と元の三角形の領域の比は、| ad-bc |に等しい| a |。

マトリックスの決定要因の兆候は、マトリックスが形状をひっくり返すかどうかを説明しています。エンドポイントがあるトライアングルを（0,0）、（0,1）、および（1,0）と考えると、マトリックスAがポイント（0,1）を保持しながらポイント（1,0）をポイント（-1,0）に抑えると、トライアングルをライン x = 0に反転したため、ネガティブになります。マトリックスは領域のサイズを変更しないため、| a | | aの絶対値が| de数字をどれだけ伸ばすかを筆記します。

マトリックス算術は連想法に従います。つまり、（ v *a）*b = v *（a*b）を意味します。幾何学的に、これは、最初に形状をマトリックスAで変換し、次にマトリックスBで形状を変換するという組み合わせた作用が、元の形状を製品で変換することと同等であることを意味します（a*b）。この観察から、| a |*| b |を推測することができます= | a*b |。

方程式| a | * | b | = | a*b | | a |の場合、重要な結果があります= 0。その場合、他のマトリックスBによってAの作用を元に戻すことはできません。これは、aとbが逆である場合、（a*b）は領域を伸ばしたり、めくったりしないので、| a*b | = 1。| a |から* | b | = | a * b |、この最後の観察は不可能な方程式0 * | b |につながります= 1。

逆の主張も示すことができます：aが非ゼロの決定要因を持つ正方行列である場合、aは逆を持っています。幾何学的には、これは平らにならないマトリックスのアクションです地域。たとえば、正方形をラインセグメントに押し付けることは、その逆と呼ばれる他のマトリックスによって元に戻すことができます。このような逆は、相互のマトリックスアナログです。