Hvad er et komplekst konjugat i matematik?
I matematik er et komplekst konjugat et par to-komponentnumre kaldet komplekse tal. Hvert af disse komplekse tal besidder en reel talkomponent, der føjes til en imaginær komponent. Selvom deres værdi er ens, er tegnet på en af de imaginære komponenter i paret med komplekse konjugerede tal modsat tegnet af den anden. På trods af at have imaginære komponenter bruges komplekse konjugater til at beskrive fysiske realiteter. Brugen af komplekse konjugater fungerer trods tilstedeværelsen af imaginære komponenter, fordi når de to komponenter multipliseres sammen, er resultatet et reelt tal.
Imaginære tal defineres som alle tal, der når kvadratet resulterer i et reelt negativt tal. Dette kan tilpasses på andre vilkår for forenkling. Et imaginært tal er ethvert reelt tal ganget med kvadratroten af det negative (-1) - i sig selv uforståeligt. I denne form er et komplekst konjugat et par tal, der kan skrives, y = a + bi og y = a – bi, hvor “i” er kvadratroden på -1. For at skelne mellem de to y-værdier skrives en formalistisk generelt med en bjælke over bogstavet, although selvom der lejlighedsvis bruges en stjerne.
Påvisning af, at multiplikation af to komplekse konjugerede tal giver et reelt resultat, overvej et eksempel, y = 7 + 2i og ӯ = 7–2i. Multiplikation af disse to giver yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i 2 = 49 + 4 = 53. Et sådant reelt resultat fra kompleks konjugatmultiplikation er vigtigt, især når man overvejer systemer på atom- og subatom-niveau. Ofte inkluderer matematiske udtryk for små fysiske systemer en imaginær komponent. Den disciplin, hvor dette er særlig vigtigt, er kvantemekanik, den ikke-klassiske fysik for de meget små.
I kvantemekanik er egenskaberne ved et fysisk system, der består af en partikel, beskrevet af en bølgeforligning. Alt, hvad der skal læres om partiklen i dets system, kan afsløres ved disse ligninger. Ofte har bølgeforligninger en imaginær komponent. Multiplikation af ligningen med dets komplekse konjugat resulterer i en fysisk fortolkelig "sandsynlighedstæthed." Partiklens karakteristika kan bestemmes ved matematisk at manipulere denne sandsynlighedstæthed.
Som eksempel er anvendelse af sandsynlighedstæthed vigtig i den diskrete spektrale emission af stråling fra atomer. En sådan anvendelse af sandsynlighedstæthed kaldes "Born probability" efter den tyske fysiker Max Born. Den vigtige nært beslægtede statistiske fortolkning af, at måling af et kvantesystem vil give visse specifikke resultater kaldes Born-reglen. Max Born var modtager af Nobelprisen i fysik fra 1954 for sit arbejde på dette område. Desværre har forsøg på at udlede Born-reglen fra andre matematiske derivater mødt blandede resultater.