Vad är ett komplex konjugat i matematik?

I matematik är ett komplext konjugat ett par tvåkomponentnummer som kallas komplexa siffror. Var och en av dessa komplexa siffror har en verklig talkomponent som läggs till en imaginär komponent. Även om deras värde är lika, är tecknet på en av de imaginära komponenterna i paret med komplexa konjugatnummer mittemot det andra tecknet. Trots att de har imaginära komponenter används komplexa konjugat för att beskriva fysiska verkligheter. Användningen av komplexa konjugat fungerar trots förekomsten av imaginära komponenter, eftersom när de två komponenterna multipliceras tillsammans är resultatet ett verkligt tal.

Imaginära nummer definieras som alla siffror som när kvadrat resulterar i ett verkligt negativt nummer. Detta kan ändras på andra villkor för förenkling. Ett imaginärt tal är valfritt verkligt antal multiplicerat med kvadratroten av negativt (-1) - av sig självt obegripligt. I denna form är ett komplext konjugat ett par siffror som kan skrivas, y = a + bi och y = a – bi, där “i” är kvadratroten -1. För att särskilja de två y-värdena, skrivs en i allmänhet med en stapel över bokstaven, although även om en ibland används en asterisk.

Att visa att multiplikation av två komplexa konjugatnummer ger ett verkligt resultat, överväg ett exempel, y = 7 + 2i och ӯ = 7–2i. Att multiplicera dessa två ger yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i ² = 49 + 4 = 53. Ett sådant verkligt resultat av komplex multiplikation av konjugat är viktigt, särskilt när man överväger system på atom- och subatomära nivåer. Ofta inkluderar matematiska uttryck för små fysiska system en imaginär komponent. Den disciplin där detta är särskilt viktigt är kvantmekanik, den icke-klassiska fysiken för mycket små.

I kvantmekanik beskrivs egenskaperna hos ett fysiskt system som består av en partikel av en vågekvation. Allt som ska lära sig om partikeln i dess system kan avslöjas med dessa ekvationer. Ofta har vågekvationer en imaginär komponent. Att multiplicera ekvationen med dess komplexa konjugat resulterar i en fysiskt tolkbar "sannolikhetstäthet." Partikelns egenskaper kan bestämmas genom matematisk manipulering av denna sannolikhetsdensitet.

Som exempel är användning av sannolikhetsdensitet viktig i den diskreta spektrala emissionen av strålning från atomer. En sådan tillämpning av sannolikhetstäthet kallas "Född sannolikhet" efter den tyska fysikern Max Born. Den viktiga nära besläktade statistiska tolkningen att mätningen av ett kvantsystem kommer att ge vissa specifika resultat kallas Born-regeln. Max Born var mottagare av Nobelpriset i fysik 1954 för sitt arbete inom detta område. Tyvärr har försök att härleda Born-regeln från andra matematiska härledningar mött blandade resultat.