W matematyce czym jest złożony koniugat?
W matematyce sprzężona złożona to para liczb dwuskładnikowych zwanych liczbami zespolonymi. Każda z tych liczb zespolonych zawiera składnik liczb rzeczywistych dodany do elementu urojonego. Choć ich wartość jest równa, znak jednego z urojonych składników w parze złożonych liczb sprzężonych jest przeciwny do znaku drugiego. Pomimo posiadania wyimaginowanych składników, złożone koniugaty są używane do opisania rzeczywistości fizycznych. Zastosowanie złożonych koniugatów działa pomimo obecności składników urojonych, ponieważ gdy dwa składniki są pomnożone razem, wynikiem jest liczba rzeczywista.
Liczby urojone są zdefiniowane jako dowolne liczby, które po podniesieniu do kwadratu dają rzeczywistą liczbę ujemną. Można to przekształcić w inny sposób dla uproszczenia. Liczba urojona to dowolna liczba rzeczywista pomnożona przez pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (-1) - sama w sobie niezrozumiała. W tej formie sprzężona złożona to para liczb, które można zapisać, y = a + bi i y = a – bi, gdzie „i” jest pierwiastkiem kwadratowym z -1. Formalnie, aby rozróżnić dwie wartości y, jedna jest na ogół napisana z paskiem nad literą ӯ, chociaż czasami stosuje się gwiazdkę.
Wykazując, że pomnożenie dwóch złożonych liczb sprzężonych daje prawdziwy wynik, rozważmy przykład y = 7 + 2i ӯ = 7–2i. Pomnożenie tych dwóch daje yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i 2 = 49 + 4 = 53. Taki rzeczywisty wynik złożonego mnożenia sprzężonego jest ważny, szczególnie przy rozważaniu układów na poziomie atomowym i subatomowym. Często wyrażenia matematyczne dla małych systemów fizycznych zawierają element wyobrażony. Dyscypliną, w której jest to szczególnie ważne, jest mechanika kwantowa, fizyka nieklasyczna bardzo małych.
W mechanice kwantowej charakterystykę układu fizycznego składającego się z cząstki opisuje równanie falowe. Wszystko, czego można się dowiedzieć o cząstce w jej układzie, można odkryć za pomocą tych równań. Często równania falowe zawierają element urojony. Pomnożenie równania przez jego złożony koniugat daje fizycznie interpretowalną „gęstość prawdopodobieństwa”. Charakterystykę cząstki można określić matematycznie manipulując tą gęstością prawdopodobieństwa.
Przykładowo zastosowanie gęstości prawdopodobieństwa jest ważne w dyskretnej widmowej emisji promieniowania z atomów. Takie zastosowanie gęstości prawdopodobieństwa nazywa się „prawdopodobieństwem Borna”, według niemieckiego fizyka Maxa Borna. Ważna ściśle powiązana interpretacja statystyczna, że pomiar układu kwantowego da określone wyniki, nazywa się regułą Borna. Max Born był laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki z 1954 r. Za swoją pracę w tej dziedzinie. Niestety próby wyprowadzenia reguły Borna z innych pochodnych matematycznych przyniosły mieszane wyniki.