En mathématiques, qu'est-ce qu'un conjugué complexe?
En mathématiques, un conjugué complexe est une paire de nombres à deux composantes appelés nombres complexes. Chacun de ces nombres complexes possède une composante de nombre réel ajoutée à une composante imaginaire. Bien que leur valeur soit égale, le signe de l’une des composantes imaginaires de la paire de nombres conjugués complexes est opposé au signe de l’autre. Bien qu'ils comportent des composants imaginaires, les conjugués complexes sont utilisés pour décrire les réalités physiques. L'utilisation de conjugués complexes fonctionne malgré la présence de composants imaginaires, car lorsque les deux composants sont multipliés ensemble, le résultat est un nombre réel.
Les nombres imaginaires sont définis comme des nombres qui, lorsqu'ils sont carrés, donnent un nombre négatif réel. Ceci peut être reformulé en d'autres termes pour simplifier. Un nombre imaginaire est un nombre réel multiplié par la racine carrée du nombre négatif (-1) - par lui-même inintelligible. Sous cette forme, un conjugué complexe est une paire de nombres qui peuvent être écrits, y = a + bi et y = a – bi, où «i» est la racine carrée de -1. D'un point de vue formel, pour distinguer les deux valeurs y, l'une est généralement écrite avec une barre au-dessus de la lettre, ӯ, bien qu'un astérisque soit utilisé à l'occasion.
Pour démontrer que la multiplication de deux nombres conjugués complexes donne un résultat réel, considérons un exemple, y = 7 + 2i et = 7–2i. Multiplier ces deux donne yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i 2 = 49 + 4 = 53. Un tel résultat réel de la multiplication de conjugués complexes est important, en particulier si l’on considère les systèmes aux niveaux atomique et subatomique. Fréquemment, les expressions mathématiques pour les systèmes physiques minuscules incluent un composant imaginaire. La discipline dans laquelle cela est particulièrement important est la mécanique quantique, la physique non classique du très petit.
En mécanique quantique, les caractéristiques d'un système physique constitué d'une particule sont décrites par une équation d'onde. Tout ce qui doit être appris sur la particule dans son système peut être révélé par ces équations. Fréquemment, les équations d'onde comportent une composante imaginaire. Multiplier l'équation par son conjugué complexe donne une «densité de probabilité» interprétable physiquement. Les caractéristiques de la particule peuvent être déterminées en manipulant mathématiquement cette densité de probabilité.
À titre d'exemple, l'utilisation de la densité de probabilité est importante dans l'émission spectrale discrète du rayonnement d'atomes. Une telle application de la densité de probabilité est appelée «probabilité de Born», d'après le physicien allemand Max Born. La règle de Born est l’interprétation statistique étroitement liée que la mesure d’un système quantique donnera certains résultats spécifiques. Max Born a reçu le prix Nobel de physique de 1954 pour ses travaux dans ce domaine. Malheureusement, les tentatives visant à dériver la règle de Born d’autres dérivations mathématiques ont donné des résultats mitigés.