Wat is een complexe conjugaat in de wiskunde?

In de wiskunde is een complex conjugaat een paar tweecomponentennummers die complexe getallen worden genoemd. Elk van deze complexe getallen bezit een reëel getalcomponent toegevoegd aan een denkbeeldige component. Hoewel hun waarde gelijk is, is het teken van een van de denkbeeldige componenten in het paar complexe geconjugeerde getallen tegengesteld aan het teken van de andere. Ondanks denkbeeldige componenten, worden complexe conjugaten gebruikt om fysieke realiteiten te beschrijven. Het gebruik van complexe conjugaten werkt ondanks de aanwezigheid van denkbeeldige componenten, omdat wanneer de twee componenten samen worden vermenigvuldigd, het resultaat een reëel getal is.

Denkbeeldige getallen worden gedefinieerd als getallen die in het kwadraat resulteren in een reëel negatief getal. Dit kan voor vereenvoudiging in andere termen worden aangepast. Een denkbeeldig getal is een reëel getal vermenigvuldigd met de vierkantswortel van negatieve (-1) - op zichzelf onbegrijpelijk. In deze vorm is een complex conjugaat een paar getallen die kunnen worden geschreven, y = a + bi en y = a – bi, waarbij "i" de vierkantswortel van -1 is. Formalistisch, om de twee y-waarden te onderscheiden, wordt er meestal een met een balk over de letter geschreven ӯ, hoewel af en toe een asterisk wordt gebruikt.

Als je aantoont dat vermenigvuldiging van twee complexe geconjugeerde getallen een echt resultaat oplevert, overweeg dan een voorbeeld, y = 7 + 2i en ӯ = 7–2i. Vermenigvuldiging van deze twee geeft yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i ² = 49 + 4 = 53. Een dergelijk echt resultaat van complexe geconjugeerde vermenigvuldiging is belangrijk, vooral bij het beschouwen van systemen op atomaire en subatomaire niveaus. Vaak bevatten wiskundige uitdrukkingen voor kleine fysieke systemen een denkbeeldige component. De discipline waarin dit vooral belangrijk is, is de kwantummechanica, de niet-klassieke fysica van de zeer kleine.

In de kwantummechanica worden de karakteristieken van een fysiek systeem dat uit een deeltje bestaat beschreven door een golfvergelijking. Alles wat over het deeltje in zijn systeem moet worden geleerd, kan worden onthuld door deze vergelijkingen. Vaak hebben golfvergelijkingen een denkbeeldige component. Het vermenigvuldigen van de vergelijking met zijn complexe conjugaat resulteert in een fysiek interpreteerbare "waarschijnlijkheidsdichtheid". De eigenschappen van het deeltje kunnen worden bepaald door deze waarschijnlijkheidsdichtheid wiskundig te manipuleren.

Bij wijze van voorbeeld is het gebruik van waarschijnlijkheidsdichtheid belangrijk bij de discrete spectrale emissie van straling door atomen. Een dergelijke toepassing van waarschijnlijkheidsdichtheid wordt "Born probability" genoemd, naar de Duitse natuurkundige Max Born. De belangrijke nauw verwante statistische interpretatie die de meting van een kwantumsysteem bepaalde specifieke resultaten oplevert, wordt de regel Born genoemd. Max Born ontving in 1954 de Nobelprijs voor natuurkunde voor zijn werk op dit gebied. Helaas hebben pogingen om de Born-regel af te leiden uit andere wiskundige afleidingen gemengde resultaten opgeleverd.