Was ist ein komplexes Konjugat in der Mathematik?
In der Mathematik ist ein komplexes Konjugat ein Paar von Zweikomponentenzahlen, die als komplexe Zahlen bezeichnet werden. Jede dieser komplexen Zahlen besitzt eine reelle Zahlenkomponente, die zu einer imaginären Komponente hinzugefügt wird. Obwohl ihr Wert gleich ist, ist das Vorzeichen einer der imaginären Komponenten im Paar komplexer konjugierter Zahlen dem Vorzeichen der anderen entgegengesetzt. Trotz imaginärer Komponenten werden komplexe Konjugate verwendet, um physikalische Realitäten zu beschreiben. Die Verwendung komplexer Konjugate funktioniert trotz der Anwesenheit imaginärer Komponenten, denn wenn die beiden Komponenten miteinander multipliziert werden, ist das Ergebnis eine reelle Zahl.
Imaginäre Zahlen sind Zahlen, die im Quadrat eine echte negative Zahl ergeben. Dies kann zur Vereinfachung anders ausgedrückt werden. Eine imaginäre Zahl ist eine beliebige reelle Zahl, multipliziert mit der Quadratwurzel der negativen Zahl (-1) - für sich genommen unverständlich. In dieser Form ist ein komplexes Konjugat ein Zahlenpaar, das geschrieben werden kann, y = a + bi und y = a – bi, wobei „i“ die Quadratwurzel von -1 ist. Formal wird zur Unterscheidung der beiden y-Werte in der Regel ein Strich über den Buchstaben geschrieben, wobei gelegentlich ein Sternchen verwendet wird.
Anhand eines Beispiels wird gezeigt, dass die Multiplikation zweier komplexer konjugierter Zahlen ein reales Ergebnis liefert: y = 7 + 2i und ӯ = 7–2i. Multiplizieren dieser beiden ergibt yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i 2 = 49 + 4 = 53. Ein solches reales Ergebnis der komplexen konjugierten Multiplikation ist wichtig, insbesondere bei der Betrachtung von Systemen auf atomarer und subatomarer Ebene. Häufig enthalten mathematische Ausdrücke für winzige physikalische Systeme eine imaginäre Komponente. Die Disziplin, in der dies besonders wichtig ist, ist die Quantenmechanik, die nicht-klassische Physik der ganz Kleinen.
In der Quantenmechanik werden die Eigenschaften eines physikalischen Systems, das aus einem Teilchen besteht, durch eine Wellengleichung beschrieben. Alles, was über das Teilchen in seinem System zu lernen ist, kann durch diese Gleichungen aufgedeckt werden. Wellengleichungen enthalten häufig eine imaginäre Komponente. Die Multiplikation der Gleichung mit ihrem komplexen Konjugat führt zu einer physikalisch interpretierbaren "Wahrscheinlichkeitsdichte". Die Eigenschaften des Teilchens können durch mathematische Manipulation dieser Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt werden.
Beispielsweise ist die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichte bei der diskreten spektralen Emission von Strahlung von Atomen wichtig. Eine solche Anwendung der Wahrscheinlichkeitsdichte wird nach dem deutschen Physiker Max Born "Born-Wahrscheinlichkeit" genannt. Die wichtige eng verwandte statistische Interpretation, dass die Messung eines Quantensystems bestimmte spezifische Ergebnisse liefert, wird als Born-Regel bezeichnet. Max Born erhielt 1954 den Nobelpreis für Physik für seine Arbeit auf diesem Gebiet. Leider stießen Versuche, die Born-Regel aus anderen mathematischen Ableitungen abzuleiten, auf gemischte Ergebnisse.