En matemáticas, ¿qué es un conjugado complejo?
En matemáticas, un conjugado complejo es un par de números de dos componentes llamados números complejos. Cada uno de estos números complejos posee un componente de número real agregado a un componente imaginario. Aunque su valor es igual, el signo de uno de los componentes imaginarios en el par de números conjugados complejos es opuesto al signo del otro. A pesar de tener componentes imaginarios, los conjugados complejos se utilizan para describir las realidades físicas. El uso de conjugados complejos funciona a pesar de la presencia de componentes imaginarios, porque cuando los dos componentes se multiplican juntos, el resultado es un número real.
Los números imaginarios se definen como cualquier número que cuando se cuadra dan como resultado un número negativo real. Esto puede reformularse en otros términos para simplificación. Un número imaginario es cualquier número real multiplicado por la raíz cuadrada de la negativa (-1), por sí mismo ininteligible. En esta forma, un conjugado complejo es un par de números que se pueden escribir, y = a+bi e y = a - bi, donde "i"es la raíz cuadrada de -1. Formalistamente, para distinguir los dos valores y, uno generalmente se escribe con una barra sobre la letra, ӯ, aunque ocasionalmente se usa un asterisco.
Demostrando que la multiplicación de dos números conjugados complejos produce un resultado real, considere un ejemplo, y = 7+2i y ӯ = 7–2i. Multiplicar estos dos da yӯ = 49+14i - 14i - 4i 2 = 49+4 = 53. Tal resultado real de la multiplicación conjugada compleja es importante, particularmente al considerar los sistemas a nivel atómico y subatómico. Con frecuencia, las expresiones matemáticas para sistemas físicos pequeños incluyen un componente imaginario. La disciplina en la que esto es especialmente importante es la mecánica cuántica, la física no clásica de lo muy pequeño.
En la mecánica cuántica, las características de un sistema físico que consiste en una partícula se describen mediante una ecuación de onda. Todo lo que se debe aprender sobre la partículaen su sistema puede ser revelado por estas ecuaciones. Con frecuencia, las ecuaciones de onda cuentan con un componente imaginario. Multiplicar la ecuación por su complejo conjugado da como resultado una "densidad de probabilidad" físicamente interpretable. Las características de la partícula pueden determinarse manipulando matemáticamente esta densidad de probabilidad.
A modo de ejemplo, el uso de la densidad de probabilidad es importante en la emisión espectral discreta de la radiación de los átomos. Dicha aplicación de densidad de probabilidad se llama "probabilidad nacida", después de que el físico alemán Max nació. La importante interpretación estadística estrechamente relacionada de que la medición de un sistema cuántico dará ciertos resultados específicos se denomina regla de nacimiento. Max Born recibió el Premio Nobel de Física de 1954 por su trabajo en esta área. Desafortunadamente, los intentos de derivar la regla de nacimiento de otras derivaciones matemáticas se han encontrado con resultados mixtos.