Was ist eine Mersenne -Primzahl?
Eine Mersenne -Primzahl ist eine Primzahl, die weniger als eine Leistung von zwei ist. Bisher wurden ungefähr 44 entdeckt. Viele Jahre lang wurde vermutet, dass alle Zahlen der Form 2 n - 1 Prime waren. Im 16. Jahrhundert zeigte Hudalricus Regius jedoch, dass 2 11 -1 2047 war, mit den Faktoren 23 und 89. In den nächsten Jahren wurden eine Reihe anderer Gegenbeispiele gezeigt. Mitte des 17. Jahrhunderts veröffentlichte Marin Mersenne ein französischer Mönch, das Cogitata Physica-mathematica . In diesem Buch erklärte er, dass 2 n - 1 für einen n Wert von 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257.
Zu der Zeit war es offensichtlich, dass er die Wahrheit einer der höheren Zahlen auf keinen Fall testen konnte. Gleichzeitig konnten seine Kollegen seine Behauptung auch nicht beweisen oder widerlegen. Tatsächlich konnte Euler erst ein Jahrhundert später demonstrieren, um zu demonstrierenaß, dass die erste unbewiesene Zahl auf Mersenne'sliste, 2 31 - 1, in der Tat Prime war. Ein Jahrhundert später, Mitte des 19. Jahrhunderts, wurde gezeigt, dass 2 127 -1 ebenfalls primär war. Nicht lange danach wurde gezeigt, dass 2 61 - 1 ebenfalls primär war und zeigte, dass Mersenne mindestens eine Nummer in seiner Liste verpasst hatte. Im frühen 20. Jahrhundert wurden zwei weitere Zahlen hinzugefügt, die er verpasst hatte, 2 89 -1 und 2 107 -1. Bei der Überprüfung der Computern, ob die Zahlen der Primzahl viel einfacher wurden, und bis 1947 die gesamte Reichweite von Mersens ursprünglich Mersenne-Primzahlen überprüft wurden. Die letzte Liste fügte seiner Liste 61, 89 und 107 hinzu, und es stellte sich heraus, dass 257 nicht in der Tat nicht Prime war.
Dennoch wurde sein Name für seine wichtige Arbeit bei der Erstellung einer Grundlage für spätere Mathematiker für diese Reihe von Zahlen gegeben. Wenn eine Anzahl von 2 n - 1 tatsächlich primär ist, soll es eine der Mersenne -Primzahlen sein.
IchDie Rsenne Primzahl hat auch eine Beziehung zu einer sogenannten perfekten Zahlen. Perfekte Zahlen haben seit Tausenden von Jahren einen wichtigen Platz in der zahlreichen Mystik. Eine perfekte Zahl ist eine Zahl n , die gleich der Summe ihrer Divisors ist, ausgenommen sich selbst. Zum Beispiel ist die Zahl 6 eine perfekte Zahl, da sie die Divisoren 1, 2 und 3 und 1+2+3 enthält. 2 n - 1 ist auch eine Mersenne -Primzahl. Dies bedeutet, dass wir uns bei der Suche nach einer neuen Mersenne -Primzahl auch darauf konzentrieren, neue perfekte Zahlen zu finden.
Wie viele dieser Art wird es schwieriger, eine neue Mersenne -Primzahl im Laufe des Fortschritts zu finden, da die Zahlen wesentlich komplexer werden und viel mehr Rechenleistung erfordern, um zu überprüfen. Zum Beispiel während der zehnte Mersenne Prime NuMber, 89, kann schnell auf einem Heimcomputer überprüft werden. Der zwanzigste 4423 wird einen Heimcomputer besteuern, und der dreißigste, 132049 erfordert eine große Menge an Rechenleistung. Die vier bekannt bekannte Mersenne-Primzahl, 20996011 enthält mehr als sechs Millionen einzelne Ziffern.
Die Suche nach einer neuen Mersenne -Primzahl wird fortgesetzt, da sie in einer Reihe von Vermutungen und Problemen eine wichtige Rolle spielen. Die vielleicht älteste und interessanteste Frage ist, ob es eine seltsame perfekte Zahl gibt. Wenn so etwas existiert, müsste es um mindestens acht Primzahlen teilbar sein und mindestens fünfundsiebzig Primfaktoren haben. Einer seiner Hauptdivisoren wäre größer als 10 20 , daher wäre es eine wirklich monumentale Zahl. Mit zunehmender Rechenleistung wird jedoch jede neue Primzahl von Mersenne etwas weniger schwierig, und möglicherweise werden diese alten Probleme irgendwann gelöst.