Was ist eine Mersenne-Primzahl?
Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die eins weniger als eine Zweierpotenz ist. Ungefähr 44 wurden bisher entdeckt. Viele Jahre lang glaubte man, dass alle Zahlen der Form 2 n - 1 Primzahlen seien. Im 16. Jahrhundert zeigte Hudalricus Regius jedoch, dass 2 11 - 1 mit den Faktoren 23 und 89 das Jahr 2047 waren. Eine Reihe weiterer Gegenbeispiele wurden in den nächsten Jahren gezeigt. Mitte des 17. Jahrhunderts veröffentlichte Marin Mersenne, ein französischer Mönch, ein Buch, die Cogitata Physica-Mathematica . In diesem Buch stellte er fest, dass 2 n - 1 eine Primzahl für einen n- Wert von 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 ist.
Zu dem Zeitpunkt war es offensichtlich, dass er die Wahrheit von keiner der höheren Zahlen hätte testen können. Gleichzeitig konnten seine Kollegen seine Behauptung auch nicht beweisen oder widerlegen. Tatsächlich konnte Euler erst ein Jahrhundert später nachweisen, dass die erste unbewiesene Zahl auf Mersennes Liste, 2 31 - 1, in Wirklichkeit Primzahl war. Ein Jahrhundert später, in der Mitte des 19. Jahrhunderts, wurde gezeigt, dass 2 127 - 1 ebenfalls eine Primzahl war. Nicht lange danach zeigte sich, dass 2 61 - 1 ebenfalls eine Primzahl war, was zeigte, dass Mersenne mindestens eine Zahl in seiner Liste verpasst hatte. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts kamen zwei weitere Zahlen hinzu, die er verpasst hatte: 2 89 - 1 und 2 107 - 1. Mit dem Aufkommen der Computer wurde es viel einfacher, zu überprüfen, ob die Zahlen Primzahlen waren oder nicht, und bis 1947 wurde das gesamte Spektrum von Mersenne einfacher Die ursprünglichen Mersenne-Primzahlen waren überprüft worden. Die endgültige Liste fügte seiner Liste 61, 89 und 107 hinzu, und es stellte sich heraus, dass 257 in Wirklichkeit keine Primzahl war.
Für seine wichtige Arbeit, um eine Grundlage für spätere Mathematiker zu schaffen, wurde dieser Zahlenreihe jedoch sein Name gegeben. Wenn eine Zahl von 2 n - 1 in der Tat eine Primzahl ist, wird sie als eine der Mersenne-Primzahlen bezeichnet.
Eine Mersenne-Primzahl hat auch eine Beziehung zu sogenannten perfekten Zahlen. Perfekte Zahlen haben seit Tausenden von Jahren einen wichtigen Platz in der zahlenbasierten Mystik. Eine perfekte Zahl ist eine Zahl n, die der Summe ihrer Teiler ohne sich selbst entspricht. Beispielsweise ist die Zahl 6 eine perfekte Zahl, da sie die Teiler 1, 2 und 3 hat und 1 + 2 + 3 ebenfalls gleich 6 ist. Die nächste perfekte Zahl ist 28 mit den Teilern 1, 2, 4 , 7 und 14. Der nächste Sprung geht auf 496 und der nächste auf 8128. Jede perfekte Zahl hat die Form 2 n-1 (2 n- 1), wobei 2 n- 1 auch eine Mersenne-Primzahl ist. Das bedeutet, dass wir uns beim Finden einer neuen Mersenne-Primzahl auch darauf konzentrieren, neue perfekte Zahlen zu finden.
Wie bei vielen Zahlen dieser Art wird die Suche nach einer neuen Mersenne-Primzahl im weiteren Verlauf schwieriger, da die Zahlen erheblich komplexer werden und viel mehr Rechenleistung zum Überprüfen erfordern. Während beispielsweise die zehnte Mersenne-Primzahl 89 auf einem Heimcomputer schnell überprüft werden kann, belastet die zwanzigste 4423 einen Heimcomputer, und die dreißigste 132049 erfordert eine große Menge an Rechenleistung. Die vierzigste bekannte Mersenne-Primzahl, 20996011, enthält mehr als sechs Millionen einzelne Ziffern.
Die Suche nach einer neuen Mersenne-Primzahl geht weiter, da sie bei einer Reihe von Vermutungen und Problemen eine wichtige Rolle spielen. Vielleicht ist die älteste und interessanteste Frage, ob es eine ungerade perfekte Zahl gibt. Wenn so etwas existieren würde, müsste es durch mindestens acht Primzahlen teilbar sein und mindestens fünfundsiebzig Primfaktoren haben. Einer seiner Hauptteiler wäre größer als 10 20 , also eine wahrhaft monumentale Zahl. Mit zunehmender Rechenleistung wird jedoch jede neue Mersenne-Primzahl etwas weniger schwierig, und möglicherweise werden diese alten Probleme irgendwann gelöst.