Co je Mersenne Prime Number?
Prvočíslo Mersenne je prvočíslo, které je o jedno menší než mocnina dvou. Dosud bylo objeveno asi 44. Po mnoho let se předpokládalo, že všechna čísla formy 2 n - 1 byla prvořadá. V 16. století však Hudalricus Regius prokázal, že 2 11 - 1 je 2047, s faktory 23 a 89. V příštích několika letech bylo ukázáno několik dalších protikladů. V polovině 17. století vydal francouzský mnich Marin Mersenne knihu Cogitata Physica-Mathematica . V této knize uvedl, že 2 n - 1 je prvořadá pro hodnotu n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 a 257.
V té době bylo zřejmé, že neexistuje způsob, jak by mohl vyzkoušet pravdu některého z vyšších čísel. Současně jeho kolegové také nemohli prokázat nebo vyvrátit jeho tvrzení. Ve skutečnosti to nebylo až o století později, že Euler byl schopen prokázat, že první neprokázané číslo na Mersennově seznamu, 2 31 - 1, bylo ve skutečnosti prvořadé. O století později, v polovině 19. století, bylo prokázáno, že 2 127 - 1 byl také nejlepší. Nedlouho poté bylo ukázáno, že 2 61 - 1 byl také hlavní, což ukazuje, že Mersenne zmeškal alespoň jedno číslo v jeho seznamu. Na začátku 20. století byla přidána další dvě čísla, která mu chyběla, 2 89 - 1 a 2 107 - 1. S příchodem počítačů se kontrola toho, zda čísla byla prvočísla nebo ne, stala mnohem jednodušší, a do roku 1947 byla celá řada Mersenneových byla zkontrolována původní prvočísla Mersenne. Konečný seznam přidal 61, 89 a 107 do jeho seznamu, a ukázalo se, že 257 ve skutečnosti není prvotřídní.
Nicméně, pro jeho důležitou práci v přípravě základů pro pozdější matematiky k práci od, jeho jméno bylo dané tomu souboru čísel. Když číslo 2 n - 1 je ve skutečnosti prvočíslo, říká se, že je to jedno z prvočísel Mersenne.
Prvočíslo Mersenne také souvisí s tím, co se nazývá dokonalá čísla. Dokonalá čísla měla důležité místo v mystice založené na číslech po tisíce let. Perfektní číslo je číslo n, které se rovná součtu jeho dělitelů, vylučujících sebe. Například číslo 6 je dokonalé číslo, protože má dělitele 1, 2 a 3 a 1 + 2 + 3 je rovné 6. Další dokonalé číslo je 28, s děliteli 1, 2, 4 , 7 a 14. Další vyskočí na 496 a další je 8128. Každé dokonalé číslo má tvar 2 n-1 (2 n - 1), kde 2 n - 1 je také prvočíslo Mersenne. To znamená, že při hledání nového prvočísla Mersenne se také zaměřujeme na hledání nových dokonalých čísel.
Stejně jako mnoho jiných čísel tohoto druhu, nalezení nového prvočísla Mersenne se stává obtížnějším, jak postupujeme, protože čísla jsou podstatně složitější a vyžadují ke kontrole mnohem větší výpočetní výkon. Například, zatímco desáté Mersenneovo hlavní číslo, 89, může být rychle zkontrolováno na domácím počítači, dvacátý, 4423, bude zdanit domácí počítač, a třicátý, 132049, vyžaduje velké množství výpočetního výkonu. Čtyřicáté známé prvočíslo Mersenne, 20996011, obsahuje více než šest milionů jednotlivých číslic.
Hledání nového prvočísla Mersenne pokračuje, protože hrají důležitou roli v řadě dohadů a problémů. Snad nejstarší a nejzajímavější otázkou je, zda existuje zvláštní liché číslo. Pokud by taková věc existovala, musela by být dělitelná nejméně osmi prvočísly a měla by mít nejméně sedmdesát pět prvočísel. Jeden z jeho hlavních dělitelů by byl větší než 10 20 , takže by to bylo opravdu monumentální číslo. S tím, jak se výpočetní výkon neustále zvyšuje, se však každé nové hlavní číslo Mersenne stane o něco méně obtížným a možná budou tyto starověké problémy nakonec vyřešeny.