Co je to číslo Mersenne?

Primening Mersenne je prvočíslo, které je o jedno menší než sílu dvou. Asi 44 bylo dosud objeveno. Po mnoho let se předpokládalo, že všechna čísla formuláře 2 ⁿ - 1 byla prvotřídní. V 16. století však Hudalricus Regius prokázal, že 2 ^{11 -1 byl 2047, s faktory 23 a 89. V příštích několika letech bylo ukázáno několik dalších protikladů. V polovině 17. století vydala francouzská mnich Marin Mersenne knihu The Cogitata Physica-Mathematica . V této knize uvedl, že 2 n - 1 byl hlavní pro n hodnotu 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 a 257.}

V té době bylo zřejmé, že neexistuje způsob, jak by mohl testovat pravdu o žádném z vyšších čísel. Současně jeho vrstevníci také nemohli prokázat nebo vyvrátit jeho tvrzení. Ve skutečnosti to bylo až o století později, že Euler byl schopen prokázatJedl, že první neprokázané číslo na Mersenne's List, 2 31 - 1, bylo ve skutečnosti prvotřídní. O století později, v polovině 19. století, bylo ukázáno, že 2 127 -1 byl také prvotřídní. Nedlouho poté se ukázalo, že 2 ⁶¹ - 1 byl také prvotřídní, což ukazuje, že Mersenne zmeškal alespoň jedno číslo ve svém seznamu. Na začátku 20. století byla přidána další dva čísla, která mu chyběla, 2 ⁸⁹ -1 a 2 ¹⁰⁷ -1. s příchodem počítačů, které kontrolovaly, zda čísla byla prvotřídní nebo nebyla mnohem snazší, a do roku 1947 byla zkontrolována celá řada původních Mersenneových prvořadých čísel. Konečný seznam přidal do jeho seznamu 61, 89 a 107 a ukázalo se, že 257 ve skutečnosti nebylo Prime.

Nicméně, pro jeho důležitou práci na rozložení základu pro pozdější matematiky, z nichž bylo možné pracovat, bylo jeho jméno dáno této sadě čísel. Když je ve skutečnosti řada 2 ⁿ - 1, říká se, že je to jedno z prvočísla Mersenne.

a jáPrimed Number Rsenne má také vztah k tomu, co se nazývá dokonalá čísla. Perfektní čísla měla po tisíce let důležité místo v mystice založeném na čísle. Perfektní číslo je číslo n , které se rovná součtu jeho dělitelů, s výjimkou samotného. Například číslo 6 je perfektní číslo, protože má dělitele 1, 2 a 3 a 1+2+3 se rovná 6. Další dokonalé číslo je 28, s děliteli 1, 2, 4, 7 a 14. Další skočí až 496 a další je 8128. 2 ⁿ - 1 je také hlavní číslo Mersenne. To znamená, že při hledání nového prvočísla Mersenne se také zaměřujeme na nalezení nových perfektních čísel.

Stejně jako mnoho čísel tohoto druhu, nalezení nového prvočísla Mersenne je obtížnější, jak postupujeme, protože čísla jsou podstatně složitější a vyžadují mnohem více výpočetní síly ke kontrole. Například zatímco desátý Mersenne Prime NuMBER, 89, lze rychle zkontrolovat na domácím počítači, dvacátý, 4423, bude zdanit domácí počítač a třicátý, 132049 vyžaduje velké množství výpočetního výkonu. Čtyřicáté známé prvotní číslo Mersenne, 20996011, obsahuje více než šest milionů individuálních číslic.

Hledání nového prvočísla Mersenne pokračuje, protože hrají důležitou roli v řadě dohadů a problémů. Snad nejstarší a nejzajímavější otázkou je, zda existuje zvláštní dokonalé číslo. Pokud by taková věc existovala, muselo by to být dělitelné nejméně osmi prvotřídními čísly a mělo by nejméně sedmdesát pět prvotřídních faktorů. Jeden z jeho hlavních dělitelů by byl větší než 10 ^{20 , takže by to bylo skutečně monumentální číslo. Jak se však výpočetní síla stále zvyšuje, každé nové prvořadé číslo Mersenne se však stane o něco méně obtížné a možná budou tyto starodávné problémy nakonec vyřešeny.}