O que é um número Mersenne Prime?

Um número Mersenne Prime é um número primo que é menos que uma potência de dois. Cerca de 44 foram descobertos até o momento. Por muitos anos, pensou -se que todos os números do Formulário 2 n - 1 eram primos. No século XVI, no entanto, Hudalricus Regius demonstrou que 2 11 -1 era 2047, com os fatores 23 e 89. Um número de outras contra-exemplos foi mostrado nos próximos anos. Em meados do século XVII, um monge francês, Marin Mersenne, publicou um livro, o cogitata physica-mathematica . Nesse livro, ele afirmou que 2 n - 1 era primitivo para um valor n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257.

Na época, era evidente que não havia como ele ter testado a verdade de qualquer um dos números mais altos. Ao mesmo tempo, seus colegas também não puderam provar ou refutar sua afirmação. De fato, não foi até um século depois que Euler foi capaz de demonstrarComeu que o primeiro número não comprovado na lista de Mersenne, 2 31 - 1, era de fato Prime. Um século depois, em meados do século XIX, foi demonstrado que 2 ^{127 -1 também era primordial. Pouco tempo depois, foi demonstrado que 2 61 - 1 também era primitivo, mostrando que Mersenne havia perdido pelo menos um número em sua lista. No início do século XX, foram adicionados mais dois números que ele havia perdido, 2 89 -1 e 2 107 -1. Com o advento dos computadores verificando se os números eram primos ou não se tornaram muito mais fáceis e, em 1947 A lista final adicionou 61, 89 e 107 à sua lista, e aconteceu que 257 não era de fato Prime.}

No entanto, por seu importante trabalho em estabelecer uma base para os matemáticos posteriores trabalharem, seu nome foi dado a esse conjunto de números. Quando um número de 2 n - 1 é de fato primitivo, diz -se que é um dos números primos de Mersenne.

A MEO número Prime Rsenne também tem uma relação com o que é conhecido como números perfeitos. Os números perfeitos tiveram um lugar importante no misticismo baseado em números há milhares de anos. Um número perfeito é um número n , que é igual à soma de seus divisores, excluindo -se. Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, porque possui os divisores 1, 2 e 3 e 1+2+3 também são iguais a 6. O próximo número perfeito é 28, com os divisores 1, 2, 4, 7 e 14. O próximo salto), e o SUP), e o SUP), e o SUP), e o número de sup) 1. 2 n - 1 também é um número Mersenne Prime. Isso significa que, ao encontrar um novo número Mersenne Prime, também nos concentramos em encontrar novos números perfeitos.

Como muitos números desse tipo, encontrar um novo número Mersenne Prime fica mais difícil à medida que progredimos, porque os números ficam substancialmente mais complexos e exigem muito mais poder de computação para verificar. Por exemplo, enquanto o décimo Mersenne Prime NuMber, 89 anos, pode ser verificado rapidamente em um computador doméstico, o vigésimo, 4423, tributará um computador doméstico, e o trigésimo, 132049, requer uma grande quantidade de poder de computação. O Quadrado Número Mersenne Prime, 20996011, contém mais de seis milhões de dígitos individuais.

A busca por um novo número Mersenne Prime continua, pois eles desempenham um papel importante em várias conjecturas e problemas. Talvez a pergunta mais antiga e mais interessante seja se há um número perfeito estranho. Se existisse tal coisa, teria que ser divisível por pelo menos oito números primos e teria pelo menos setenta e cinco fatores primários. Um de seus primeiros divisores seria maior que 10 20 , por isso seria um número verdadeiramente monumental. À medida que o poder da computação continua aumentando, no entanto, cada novo número Mersenne Prime se tornará um pouco menos difícil, e talvez esses problemas antigos sejam resolvidos.