O que é um número Mersenne Prime?
Um número primo de Mersenne é um número primo que é um a menos que a potência de dois. Cerca de 44 foram descobertos até o momento. Por muitos anos, pensou-se que todos os números da forma 2 n - 1 eram primos. No século 16, no entanto, Hudalricus Regius demonstrou que 2 11 - 1 era 2047, com os fatores 23 e 89. Vários outros contra-exemplos foram mostrados nos próximos anos. Em meados do século XVII, um monge francês, Marin Mersenne, publicou um livro, o Cogitata Physica-Mathematica . Nesse livro, ele afirmou que 2 n - 1 era primo para um valor n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257.
Na época, era evidente que não havia como ele testar a verdade de qualquer um dos números mais altos. Ao mesmo tempo, seus colegas também não puderam provar ou refutar sua afirmação. De fato, somente um século depois Euler conseguiu demonstrar que o primeiro número não comprovado da lista de Mersenne, 2 31-1 , era de fato primo. Um século depois, em meados do século XIX, foi mostrado que 2 127 - 1 também era primo. Pouco tempo depois, foi demonstrado que 2 61-1 também era primo, mostrando que Mersenne havia perdido pelo menos um número em sua lista. No início do século XX, foram adicionados mais dois números que ele havia perdido, 2 89 - 1 e 2 107 - 1. Com o advento dos computadores, verificar se os números eram primos ou não se tornou muito mais fácil, e em 1947 toda a gama de os números primos originais de Mersenne haviam sido verificados. A lista final adicionou 61, 89 e 107 à sua lista, e acabou que 257 não era de fato o principal.
No entanto, por seu importante trabalho em estabelecer uma base para os matemáticos posteriores trabalharem, seu nome foi dado a esse conjunto de números. Quando um número de 2 n - 1 é de fato primo, diz-se ser um dos números primos de Mersenne.
Um número primo de Mersenne também tem uma relação com o que é conhecido como números perfeitos. Números perfeitos ocupam um lugar importante no misticismo baseado em números há milhares de anos. Um número perfeito é um número n que é igual à soma de seus divisores, excluindo-se. Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, porque possui os divisores 1, 2 e 3 e 1 + 2 + 3 também é igual a 6. O próximo número perfeito é 28, com os divisores 1, 2, 4 , 7 e 14. O próximo salta até 496 e o próximo é 8128. Cada número perfeito tem a forma 2 n-1 (2 n - 1), onde 2 n - 1 também é um número primo de Mersenne. Isso significa que, ao encontrar um novo número primo de Mersenne, também nos concentramos em encontrar novos números perfeitos.
Como muitos números desse tipo, encontrar um novo número primo de Mersenne fica mais difícil à medida que progredimos, porque os números se tornam substancialmente mais complexos e exigem muito mais poder computacional para verificar. Por exemplo, enquanto o décimo número primo de Mersenne, 89, pode ser verificado rapidamente em um computador doméstico, o vigésimo, 4423, tributará um computador doméstico e o trigésimo, 132049, exige uma grande quantidade de poder de computação. O quadragésimo número primo conhecido de Mersenne, 20996011, contém mais de seis milhões de dígitos individuais.
A busca por um novo número primo de Mersenne continua, pois eles desempenham um papel importante em várias conjecturas e problemas. Talvez a pergunta mais antiga e mais interessante seja se existe um número perfeito ímpar. Se tal coisa existisse, teria que ser divisível por pelo menos oito números primos e teria pelo menos setenta e cinco fatores primos. Um de seus divisores principais seria maior que 10 20 , portanto seria um número verdadeiramente monumental. À medida que o poder da computação continua a aumentar, no entanto, cada novo número primo de Mersenne se torna um pouco menos difícil, e talvez esses problemas antigos sejam resolvidos.