¿Qué es un número de Mersenne Prime?

Un número primo de Mersenne es un número primo que es menos de un poder de dos. Alrededor de 44 han sido descubiertos hasta la fecha. Durante muchos años se pensó que todos los números de la Forma 2 n - 1 eran primos. Sin embargo, en el siglo XVI, Hudalricus Regius demostró que 2 11 -1 fue 2047, con los factores 23 y 89. Varios otros contra-examen se mostraron en los próximos años. A mediados del siglo XVII, un monje francés, Marin Mersenne publicó un libro, el Cogitata Physica-Mathematica . En ese libro, declaró que 2 n - 1 fue primo para un valor n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257.

En ese momento, era evidente que no había forma de que pudiera haber probado la verdad de ninguno de los números más altos. Al mismo tiempo, sus compañeros tampoco podían probar ni refutar su afirmación. De hecho, no fue hasta un siglo después que Euler pudo demostrarComió que el primer número no probado en la lista de Mersenne, 2 31 - 1, era de hecho primo. Un siglo después, a mediados del siglo XIX, se demostró que 2 127 -1 también fue primo. No mucho después de eso se demostró que 2 61 - 1 también fue primo, lo que demuestra que Mersenne había perdido al menos un número en su lista. A principios del siglo XX, se agregaron dos números más que se había perdido, 2 89 -1 y 2 107 -1. Con el advenimiento de las computadoras verificando si los números eran primos o no se volvieron mucho más fáciles, y en 1947 toda la gama de los números primos de Mersenne de Mersenne se habían revisado. La lista final agregó 61, 89 y 107 a su lista, y resultó que 257 no era de hecho Prime.

Sin embargo, para su importante trabajo al establecer una base para que los matemáticos posteriores trabajen, su nombre fue dado a ese conjunto de números. Cuando una serie de 2 n - 1 es de hecho primo, se dice que es uno de los números Prime de Mersenne.

a meRsenne Prime Number también tiene una relación con lo que se conoce como números perfectos. Los números perfectos han tenido un lugar importante en el misticismo numérico durante miles de años. Un número perfecto es un número n que es igual a la suma de sus divisores, excluyendo a sí mismo. Por ejemplo, el número 6 es un número perfecto, porque tiene los divisores 1, 2 y 3, y 1+2+3 también es igual a 6. El número perfecto es 28, con los divisores 1, 2, 4, 7 y 14. El siguiente salta a 496, y el siguiente es 8128. Cada número perfecto tiene el formulario 2 n-1 n -1, 1, 1, 1, 1, 1), donde tiene la forma 2 n-1 . 2 n - 1 también es un número de Mersenne Prime. Esto significa que al encontrar un nuevo número de Mersenne, también nos centramos en encontrar nuevos números perfectos.

Como muchos números de este tipo, encontrar un nuevo número de Mersenne se vuelve más difícil a medida que avanzamos, porque los números se vuelven sustancialmente más complejos y requieren mucha más potencia informática para verificar. Por ejemplo, mientras el Décimo Mersenne Prime NuMber, de 89 años, se puede verificar rápidamente en una computadora doméstica, el vigésimo, 4423, gravará una computadora doméstica y el trigésimo, 132049 requiere una gran cantidad de potencia informática. El cuadragésimo conocido de Mersenne Prime, 20996011 contiene más de seis millones de dígitos individuales.

La búsqueda de un nuevo número de Mersenne continúa, ya que juegan un papel importante en una serie de conjeturas y problemas. Quizás la pregunta más antigua e interesante es si hay un número perfecto de perfecto. Si tal cosa existiera, tendría que ser divisible por al menos ocho números primos, y tendría al menos setenta y cinco factores primos. Uno de sus principales divisores sería mayor que 10 20 , por lo que sería un número verdaderamente monumental. Sin embargo, a medida que la potencia informática continúa aumentando, cada nuevo número de Mersenne se volverá un poco menos difícil, y quizás estos problemas antiguos eventualmente se resolverán.