Co to jest liczba pierwsza Mersenne?
Liczba pierwsza Mersenne'a jest liczbą pierwszą, która jest o jeden mniejsza od potęgi dwóch. Do tej pory odkryto około 44. Przez wiele lat uważano, że wszystkie liczby w postaci 2 n - 1 są liczbą pierwszą. Jednak w XVI wieku Hudalricus Regius wykazał, że 2 11 - 1 to 2047, przy czynnikach 23 i 89. W ciągu kilku następnych lat pokazano wiele innych kontrprzykładów. W połowie XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne opublikował książkę, Cogitata Physica-Mathematica . W tej książce stwierdził, że 2 n - 1 jest liczbą pierwszą dla wartości n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257.
W tamtym czasie było oczywiste, że nie ma sposobu, by sprawdzić prawdę którejkolwiek z wyższych liczb. Jednocześnie jego rówieśnicy nie mogli udowodnić ani obalić tego twierdzenia. W rzeczywistości dopiero sto lat później Euler był w stanie wykazać, że pierwszy niepotwierdzony numer z listy Mersenne'a, 2 31-1 , był w rzeczywistości liczbą pierwszą. Sto lat później, w połowie XIX wieku, wykazano, że 2 127 - 1 również było liczbą pierwszą. Niedługo potem wykazano, że 2 61 - 1 również było liczbą pierwszą, pokazując, że Mersenne przegapił przynajmniej jedną liczbę na swojej liście. Na początku XX wieku dodano jeszcze dwie liczby, które przegapił, 2 89 - 1 i 2 107 - 1. Wraz z pojawieniem się komputerów sprawdzających, czy liczby są pierwsze, czy nie, stało się znacznie łatwiejsze, a do 1947 roku cała gama Mersenne'a oryginalne liczby pierwsze Mersenne zostały sprawdzone. Ostateczna lista dodała 61, 89 i 107 do jego listy i okazało się, że 257 nie było w rzeczywistości liczbą pierwszą.
Niemniej jednak, dla jego ważnej pracy nad przygotowaniem podstaw dla późniejszych matematyków, jego imię nadano temu zestawowi liczb. Gdy liczba 2 n - 1 jest w rzeczywistości liczbą pierwszą, mówi się, że jest to jedna z liczb pierwszych Mersenne.
Liczba pierwsza Mersenne ma również związek z tak zwanymi liczbami doskonałymi. Idealne liczby zajmowały ważne miejsce w mistycyzmie opartym na liczbach od tysięcy lat. Liczba doskonała to liczba n, która jest równa sumie jej dzielników, z wyłączeniem samego siebie. Na przykład liczba 6 jest liczbą idealną, ponieważ ma dzielniki 1, 2 i 3, a 1 + 2 + 3 jest również równa 6. Kolejna liczba idealna to 28, z dzielnikami 1, 2, 4 , 7 i 14. Kolejny skok do 496, a następny to 8128. Każda liczba idealna ma postać 2 n-1 (2 n - 1), gdzie 2 n - 1 jest również liczbą pierwszą Mersenne. Oznacza to, że szukając nowej liczby pierwszej Mersenne, koncentrujemy się również na poszukiwaniu nowych liczb doskonałych.
Podobnie jak wiele takich liczb, znalezienie nowej liczby pierwszej Mersenne staje się coraz trudniejsze w miarę postępu, ponieważ liczby stają się znacznie bardziej złożone i wymagają sprawdzenia o wiele większej mocy obliczeniowej. Na przykład, podczas gdy dziesiąta liczba pierwsza Mersenne, 89, może być szybko sprawdzona na komputerze domowym, dwudziesty 4423 opodatkuje komputer domowy, a trzydziesty 132049 wymaga dużej mocy obliczeniowej. Czwarta znana liczba pierwsza Mersenne, 20996011, zawiera ponad sześć milionów pojedynczych cyfr.
Trwają poszukiwania nowej liczby pierwszej Mersenne, ponieważ odgrywają one ważną rolę w wielu przypuszczeniach i problemach. Być może najstarsze i najciekawsze pytanie brzmi, czy istnieje nieparzysta idealna liczba. Gdyby coś takiego istniało, musiałoby być podzielne przez co najmniej osiem liczb pierwszych i miałoby co najmniej siedemdziesiąt pięć liczb pierwszych. Jeden z jego głównych dzielników byłby większy niż 10 20 , więc byłby to naprawdę monumentalna liczba. Jednak wraz ze wzrostem mocy obliczeniowej każda nowa liczba pierwsza Mersenne będzie nieco trudniejsza i być może te starożytne problemy zostaną w końcu rozwiązane.