Wat is een Mersenne -priemgetal?
Een priemgetal van Mersenne is een priemgetal dat minder is dan een kracht van twee. Tot op heden zijn er ongeveer 44 ontdekt. Jarenlang werd gedacht dat alle nummers van de formulier 2 n - 1 prime waren. In de 16e eeuw toonde HudalriCus Regius echter aan dat 2 11 -1 2047 was, met de factoren 23 en 89. Een aantal andere tegenondermetpels werd in de komende jaren getoond. In het midden van de 17e eeuw publiceerde een Franse monnik, Marin Mersenne, een boek, The Cogitata Physica-Mathematica . In dat boek verklaarde hij dat 2 n - 1 prime was voor een n waarde van 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257.
Destijds was het duidelijk dat hij de waarheid van een van de hogere aantallen niet had kunnen testen. Tegelijkertijd konden zijn collega's ook zijn bewering niet bewijzen of weerleggen. In feite was het pas een eeuw later dat Euler in staat was om te demonstrerenat dat het eerste onbewezen nummer op de lijst van Mersenne, 2 31 - 1, in feite prime was. Een eeuw later, in het midden van de 19e eeuw, werd aangetoond dat 2 127 -1 ook prime was. Niet lang daarna werd aangetoond dat 2 61 - 1 ook prime was, waaruit blijkt dat Mersenne minstens één nummer in zijn lijst had gemist. In het begin van de 20e eeuw werden nog twee cijfers toegevoegd die hij had gemist, 2 89 -1 en 2 107 -1. Met de komst van computers die controleerden of cijfers veel gemakkelijker waren, en in 1947 was het hele assortiment Mersenne's oorspronkelijke Mersenne Prime Cijfers gecontroleerd. De uiteindelijke lijst voegde 61, 89 en 107 toe aan zijn lijst, en het bleek dat 257 in feite niet prime was.
Niettemin, voor zijn belangrijke werk om een basis te leggen voor latere wiskundigen om uit te werken, werd zijn naam aan die reeks getallen gegeven. Wanneer een aantal van 2 n - 1 in feite prime is, wordt gezegd dat het een van de mersenne -priemgetallen is.
een ikRSENNE PREEMUBERE heeft ook een relatie met wat bekend staat als perfecte cijfers. Perfecte cijfers hebben al duizenden jaren een belangrijke plaats in nummergebaseerde mystiek. Een perfect getal is een getal n dat gelijk is aan de som van zijn delers, exclusief zichzelf. Het nummer 6 is bijvoorbeeld een perfect getal, omdat het de divisors 1, 2 en 3 en 1+2+3 heeft, is ook gelijk aan 6. Het volgende perfecte nummer is 28, met de divisors 1, 2, 4, 4, 7 en 14. De volgende springt tot 496, en de volgende is 8128. Elk perfecte nummer heeft het formulier 2 n-1 (2 (2 (2 (2 (2 , waar is 2 2 n - 1 is ook een Mersenne -priemgetal. Dit betekent dat we ons bij het vinden van een nieuw Mersenne -priemgetal ook richten op het vinden van nieuwe perfecte cijfers.
Zoals veel cijfers van dit soort, wordt het vinden van een nieuw Mersenne -priemgetal moeilijker naarmate we vorderen, omdat de cijfers aanzienlijk complexer worden en veel meer rekenkracht vereisen om te controleren. Bijvoorbeeld, terwijl de tiende Mersenne prime nuMber, 89, kan snel worden gecontroleerd op een thuiscomputer, de twintigste, 4423, zal een thuiscomputer belasten, en de dertigste, 132049 vereist een grote hoeveelheid rekenkracht. Het veertigste bekende Mersenne Prime-nummer, 20996011 bevat meer dan zes miljoen individuele cijfers.
De zoektocht naar een nieuw Mersenne -priemgetal gaat door, omdat ze een belangrijke rol spelen in een aantal vermoedens en problemen. Misschien is de oudste en meest interessante vraag of er een vreemd perfect nummer is. Als zoiets bestond, zou het moeten deelbaar zijn met ten minste acht priemgetallen en zou het minstens vijfenzeventig prime-factoren hebben. Een van de belangrijkste delers zou groter zijn dan 10 20 , dus het zou een echt monumentaal nummer zijn. Naarmate de rekenkracht blijft toenemen, zal elk nieuw Mersenne -priemgetal echter iets minder moeilijk worden, en misschien zullen deze oude problemen uiteindelijk worden opgelost.