Wat is een Mersenne priemgetal?
Een priemgetal van Mersenne is een priemgetal dat één minder is dan een macht van twee. Tot op heden zijn er ongeveer 44 ontdekt. Jarenlang werd gedacht dat alle getallen van de vorm 2 n - 1 priem waren. In de 16e eeuw toonde Hudalricus Regius echter aan dat 2 11 - 1 2047 was, met de factoren 23 en 89. Een aantal andere tegenvoorbeelden werden in de komende jaren getoond. In het midden van de 17e eeuw publiceerde een Franse monnik, Marin Mersenne, een boek, de Cogitata Physica-Mathematica . In dat boek verklaarde hij dat 2 n - 1 primair was voor een n- waarde van 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257.
Destijds was het duidelijk dat hij op geen enkele manier de waarheid van een van de hogere getallen had kunnen testen. Tegelijkertijd konden zijn collega's zijn bewering ook niet bewijzen of weerleggen. Pas een eeuw later kon Euler aantonen dat het eerste onbewezen nummer op de lijst van Mersenne, 2 31 - 1, in feite prime was. Een eeuw later, in het midden van de 19e eeuw, werd aangetoond dat 2 127 - 1 ook prime was. Niet lang daarna werd aangetoond dat 2 61 - 1 ook prime was, waaruit bleek dat Mersenne minstens één nummer in zijn lijst had gemist. In het begin van de 20e eeuw werden nog twee nummers toegevoegd die hij had gemist, 2 89 - 1 en 2 107 - 1. Met de komst van computers werd het controleren of nummers al dan niet priem waren veel eenvoudiger, en tegen 1947 werd het hele assortiment van Mersenne's originele Mersenne priemgetallen waren gecontroleerd. De definitieve lijst voegde 61, 89 en 107 toe aan zijn lijst en het bleek dat 257 in feite niet primair was.
Niettemin werd zijn naam gegeven aan die reeks voor zijn belangrijke werk bij het leggen van een basis voor latere wiskundigen om mee te werken. Wanneer een getal van 2 n - 1 in feite priem is, wordt gezegd dat het een van de priemgetallen van Mersenne is.
Een priemgetal van Mersenne heeft ook een relatie met wat bekend staat als perfecte getallen. Perfecte getallen nemen al duizenden jaren een belangrijke plaats in op getallen gebaseerde mystiek. Een perfect getal is een getal n dat gelijk is aan de som van zijn delers, exclusief zichzelf. Het getal 6 is bijvoorbeeld een perfect getal, omdat het de delers 1, 2 en 3 heeft en 1 + 2 + 3 is ook gelijk aan 6. Het volgende perfecte getal is 28, met de delers 1, 2, 4 , 7 en 14. De volgende springt tot 496 en de volgende is 8128. Elk perfect getal heeft de vorm 2 n-1 (2 n - 1), waarbij 2 n - 1 ook een priemgetal van Mersenne is. Dit betekent dat we ons bij het vinden van een nieuw priemgetal van Mersenne ook richten op het vinden van nieuwe perfecte getallen.
Zoals veel van dit soort getallen, wordt het vinden van een nieuw priemgetal van Mersenne moeilijker naarmate we vorderen, omdat de getallen aanzienlijk complexer worden en veel meer rekenkracht vereisen om te controleren. Terwijl het tiende Mersenne priemgetal, 89, snel kan worden gecontroleerd op een thuiscomputer, zal de twintigste, 4423, een thuiscomputer belasten, en de dertigste, 132049, vereist een grote hoeveelheid rekenkracht. Het veertigste bekende Mersenne priemgetal, 20996011, bevat meer dan zes miljoen individuele cijfers.
De zoektocht naar een nieuw priemgetal van Mersenne gaat door, omdat deze een belangrijke rol spelen bij een aantal vermoedens en problemen. Misschien is de oudste en meest interessante vraag of er een oneven perfect getal is. Als zoiets zou bestaan, zou het deelbaar moeten zijn door ten minste acht priemgetallen en minstens vijfenzeventig priemfactoren hebben. Een van de belangrijkste delers zou groter zijn dan 10 20 , dus het zou een echt monumentaal aantal zijn. Naarmate de rekenkracht echter blijft toenemen, zal elk nieuw priemgetal van Mersenne een beetje minder moeilijk worden, en misschien zullen deze oude problemen uiteindelijk worden opgelost.