Hva er et Mersenne-hovednummer?
Et Mersenne-primtall er et primtall som er ett mindre enn en kraft av to. Rundt 44 er oppdaget til dags dato. I mange år trodde man at alle tallene i formen 2 n - 1 var prima. På 1500-tallet demonstrerte imidlertid Hudalricus Regius at 2 11 - 1 var 2047, med faktorene 23 og 89. En rekke andre moteksempler ble vist i løpet av de neste årene. På midten av 1600-tallet ga en fransk munk, Marin Mersenne ut en bok, Cogitata Physica-Mathematica . I den boken uttalte han at 2 n - 1 var førsteklasses for en n verdi på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257.
På det tidspunktet var det tydelig at det ikke var noen måte han kunne ha testet sannheten om noe av de høyere tallene. Samtidig kunne ikke likemennene hans bevise eller motbevise påstanden. Faktisk var det ikke før et århundre senere at Euler var i stand til å demonstrere at det første uprøvde nummeret på Mersennes liste, 2 31 - 1, faktisk var førsteklasses. Et århundre senere, på midten av 1800-tallet, ble det vist at 2 127 - 1 også var fyrste. Ikke lenge etter det ble det vist at 2 61 - 1 også var utmerket, noe som viste at Mersenne hadde savnet minst ett nummer på listen sin. På begynnelsen av 1900-tallet ble to flere nummer lagt til som han hadde gått glipp av, 2 89 - 1 og 2 107 - 1. Med bruk av datamaskiner som sjekket om tallene var primære eller ikke ble det mye enklere, og i 1947 ble hele serien til Mersennes originale Mersenne primtall hadde blitt sjekket. Den endelige listen la 61, 89 og 107 til listen, og det viste seg at 257 faktisk ikke var førsteklasses.
Likevel, for hans viktige arbeid med å legge ut et grunnlag for senere matematikere å jobbe fra, ble navnet hans gitt til det settet med tall. Når et antall 2 n - 1 faktisk er prim, sies det å være et av Mersenne primtall.
Et primærtall fra Mersenne har også et forhold til det som er kjent som perfekte tall. Perfekte tall har hatt en viktig plass i tallbasert mystikk i tusenvis av år. Et perfekt tall er et tall n som er lik summen av delere, ekskluderer seg selv. For eksempel er tallet 6 et perfekt tall, fordi det har delere 1, 2 og 3, og 1 + 2 + 3 er også lik 6. Det neste perfekte tallet er 28, med delere 1, 2, 4 , 7 og 14. Den neste hopper opp til 496, og den neste er 8128. Hvert perfekte tall har formen 2 n-1 (2 n - 1), der 2 n - 1 også er et Mersenne primtall. Dette betyr at når vi finner et nytt Mersenne-primtall, fokuserer vi også på å finne nye perfekte tall.
Som mange tall av denne typen, blir det vanskeligere å finne et nytt primærnummer fra Mersenne når vi går fremover, fordi tallene blir vesentlig mer sammensatte og krever mye mer datakraft for å sjekke. For eksempel, mens det tiende Mersenne-primtallet, 89, raskt kan sjekkes på en hjemme-datamaskin, vil den tjuende, 4423, beskatte en hjemmecomputer, og den trettiende 132049 krever en stor mengde databehandlingskraft. Det førti kjente Mersenne-primnummeret, 20996011, inneholder mer enn seks millioner individuelle sifre.
Letingen etter et nytt primærnummer fra Mersenne fortsetter, ettersom de spiller en viktig rolle i en rekke formoder og problemer. Det kanskje eldste og mest interessante spørsmålet er om det er et merkelig perfekt tall. Hvis noe slikt eksisterte, måtte det deles med minst åtte primtall, og ha minst syttifem primfaktorer. En av dens viktigste divisorer ville være større enn 10 20 , så det ville være et virkelig monumentalt tall. Ettersom datakraften fortsetter å øke, vil imidlertid hvert nye Mersenne-primtall bli litt mindre vanskelig, og kanskje vil disse gamle problemene til slutt bli løst.