Hva er et Mersenne -primtall?

Et Mersenne -primtall er et primtall som er en mindre enn en kraft på to. Omtrent 44 er oppdaget til dags dato. I mange år trodde man at alle tallene i skjemaet 2 ^{n - 1 var førsteklasses. På 1500-tallet demonstrerte imidlertid Hudalricus Regius at 2 11 -1 var 2047, med faktorene 23 og 89. Et antall andre moteksempler ble vist i løpet av de neste årene. På midten av 1700-tallet ga en fransk munk, Marin Mersenne en bok, cogitata Physica-Mathematica . I den boken uttalte han at 2 n - 1 var førsteklasses for en n verdi på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257.}

Den gang var det tydelig at det ikke var noen måte han kunne ha testet sannheten om noe av de høyere tallene. Samtidig kunne hans jevnaldrende heller ikke bevise eller motbevise påstanden hans. Det var faktisk ikke før et århundre senere at Euler kunne demonstrerespiste at det første uprovoserte nummeret på Mersennes liste, 2 ^{31 - 1, faktisk var førsteklasses. Et århundre senere, på midten av 1800-tallet, ble det vist at 2 127 -1 også var førsteklasses. Ikke lenge etter ble det vist at 2 61 - 1 også var førsteklasses, og viste at Mersenne hadde gått glipp av minst ett nummer på listen. På begynnelsen av det 20. århundre ble det lagt til to tall som han hadde gått glipp av, 2 89 -1 og 2 107 -1. med advent av datamaskiner som sjekket om tallene var førsteklasses eller ikke ble mye enklere, og innen 1947 hadde hele spekteret av Mersennes opprinnelige Mersenne Prime-tall blitt sjekket. Den endelige listen la til 61, 89 og 107 på listen hans, og det viste seg at 257 faktisk ikke var førsteklasses.}

Ikke desto mindre, for sitt viktige arbeid med å legge ut et grunnlag for senere matematikere å jobbe fra, ble navnet hans gitt til det settet med tall. Når et antall 2 ^{n - 1 faktisk er førsteklasses, sies det å være et av Mersenne -primtallene.}

A MERSenne Prime Number har også et forhold til det som kalles perfekte tall. Perfekte tall har hatt et viktig sted i tallbasert mystikk i tusenvis av år. Et perfekt tall er et tall n som er lik summen av delingene, unntatt seg selv. For eksempel er tallet 6 et perfekt tall, fordi det har delingene 1, 2 og 3, og 1+2+3 er også lik 6. Det neste perfekte tallet er 28, med delingene 1, 2, 4, 7 og 14. Neste hopper opp til 496, og den neste er 8128. Hver perfekt tall har formen 2 ^N-1 (2. 2 ^{n - 1 er også et Mersenne -primtall. Dette betyr at vi også fokuserer på å finne nye perfekte tall når vi finner et nytt Mersenne -primtall.}

Som mange antall av denne typen, blir det vanskeligere å finne et nytt Mersenne -primtall når vi går fremover, fordi tallene blir vesentlig mer sammensatt, og krever mye mer datakraft for å sjekke. For eksempel, mens den tiende Mersenne Prime NuMber, 89, kan sjekkes raskt på en hjemmecomputer, tjuende, 4423, vil skattlegge en hjemmecomputer, og den trettiende, 132049 krever en stor mengde datakraft. Det førte kjente Mersenne Prime Number, 20996011 inneholder mer enn seks millioner individuelle sifre.

Søket etter et nytt Mersenne -primtall fortsetter, ettersom de spiller en viktig rolle i en rekke formodninger og problemer. Kanskje det eldste og mest interessante spørsmålet er om det er et merkelig perfekt tall. Hvis noe slikt eksisterte, måtte det være delbart med minst åtte primtall, og ville ha minst syttifem primefaktorer. En av de viktigste delingene ville være større enn 10 ^{20 , så det ville være et virkelig monumentalt tall. Når datakraften fortsetter å øke, vil imidlertid hvert nye Mersenne -primtall bli litt mindre vanskelig, og kanskje vil disse eldgamle problemene etter hvert bli løst.}