Vad är ett Mersenne-nummer?
Ett Mersenne-primtal är ett primtal som är ett mindre än en effekt av två. Cirka 44 har hittills upptäckts. Under många år trodde man att alla siffror i formen 2 n - 1 var primära. På 1500-talet visade dock Hudalricus Regius att 2 11 - 1 var 2047, med faktorerna 23 och 89. Ett antal andra motexempel visades under de närmaste åren. I mitten av 1600-talet publicerade en fransk munk, Marin Mersenne en bok, Cogitata Physica-Mathematica . I den boken uttalade han att 2 n - 1 var det främsta för ett n värde på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 och 257.
Vid den tiden var det uppenbart att det inte fanns något sätt att han kunde ha testat sanningen om något av de högre siffrorna. Samtidigt kunde hans kamrater inte heller bevisa eller motbevisa hans påstående. Faktum är att det inte var förrän ett sekel senare att Euler kunde visa att det första obevisade numret på Mersennes lista, 2 31 - 1, faktiskt var främst. Ett sekel senare, i mitten av 1800-talet, visades det att 2 127 - 1 också var främsta. Inte långt efter det visades att 2 61 - 1 också var prime, vilket visade att Mersenne hade missat minst ett nummer på sin lista. I början av 1900-talet tillkom ytterligare två nummer som han hade missat, 2 89 - 1 och 2 107 - 1. När datorerna kom till att kontrollera om siffrorna var primära eller inte blev mycket lättare, och 1947 blev hela serien av Mersennes original Mersenne primtal hade kontrollerats. Den slutliga listan lade till 61, 89 och 107 till hans lista, och det visade sig att 257 inte var faktiskt främsta.
Men för hans viktiga arbete med att lägga grunden för senare matematiker att arbeta med, gavs han namnet till den uppsättningen siffror. När ett nummer av 2 n - 1 i själva verket är primärt sägs det vara ett av Mersennes primtal.
Ett Mersenne-primtal har också en relation till det som kallas perfekta nummer. Perfekta nummer har haft en viktig plats i nummerbaserad mystik i tusentals år. Ett perfekt tal är ett tal n som är lika med summan av dess delare, exklusive sig själv. Till exempel är siffran 6 ett perfekt tal, eftersom det har delarna 1, 2 och 3, och 1 + 2 + 3 är också lika med 6. Nästa perfekta nummer är 28, med delarna 1, 2, 4 , 7 och 14. Nästa nästa hoppar upp till 496, och nästa är 8128. Varje perfekt nummer har formen 2 n-1 (2 n - 1), där 2 n - 1 också är ett Mersenne-primtal. Detta innebär att när vi hittar ett nytt Mersenne-primtal, fokuserar vi också på att hitta nya perfekta nummer.
Liksom många nummer av detta slag blir det svårare att hitta ett nytt Mersenne-primtal när vi går framåt, eftersom siffrorna blir väsentligt mer komplexa och kräver mycket mer datorkraft för att kontrollera. Till exempel, medan det tionde Mersenne-primtalet, 89, snabbt kan kontrolleras på en hemdator, kommer den tjugonde 4423 att beskatta en hemdator, och den trettionde 132049 kräver en stor mängd datorkraft. Det fyrtionde kända Mersenne-primtalet, 20996011 innehåller mer än sex miljoner individuella siffror.
Sökandet efter ett nytt Mersenne-primtal fortsätter, eftersom de spelar en viktig roll i ett antal antaganden och problem. Kanske är den äldsta och mest intressanta frågan om det finns ett udda perfekt antal. Om något sådant existerade, skulle det vara delbart med minst åtta primtal och skulle ha minst 75 primära faktorer. En av dess huvuddelare skulle vara större än 10 20 , så det skulle vara ett verkligt monumentalt antal. Eftersom datorkraften fortsätter att öka, kommer emellertid varje nytt Mersenne-primtal att bli lite mindre svårt, och kanske kommer dessa gamla problem så småningom att lösas.