Vad är ett Mersenne Prime -nummer?

a Mersenne Prime -nummer är ett primtal som är ett mindre än en kraft på två. Cirka 44 har hittills upptäckts. Under många år trodde man att alla antal av form 2 ⁿ - 1 var främsta. På 1500-talet visade emellertid Hudalricus regius att 2 ¹¹ -1 var 2047, med faktorerna 23 och 89. Ett antal andra motexempel visades under de närmaste åren. I mitten av 1700-talet publicerade en fransk munk, Marin Mersenne en bok, cogitata Physica-Mathematica . I den boken uttalade han att 2 ⁿ - 1 var prim för ett n värde på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127 och 257.

Vid den tiden var det uppenbart att det inte fanns något sätt att han kunde ha testat sanningen om något av de högre siffrorna. Samtidigt kunde hans kamrater inte heller bevisa eller motbevisa hans påstående. I själva verket var det inte förrän ett sekel senare som Euler kunde demonstreraåt att det första obevisade numret på Mersennes lista, 2 ³¹ - 1, faktiskt var prim. Ett sekel senare, i mitten av 1800-talet, visades det att 2 ¹²⁷ -1 också var prim. Inte länge efter det visades det att 2 ⁶¹ - 1 också var prim, vilket visade att Mersenne hade missat minst ett nummer i sin lista. I början av 1900-talet tillkom ytterligare två nummer som han hade missat, 2 ⁸⁹ -1 och 2 ¹⁰⁷ -1. Med tillkomsten av datorer kontrollerade huruvida antalet var prime eller inte blev mycket enklare, och år 1947 hade hela sortimentet av Mersennes ursprungliga Mersenne primtal kontrollerats. Den sista listan tilllade 61, 89 och 107 på sin lista, och det visade sig att 257 inte var prim.

Men för hans viktiga arbete med att lägga fram ett grund för senare matematiker att arbeta från, gavs hans namn till den uppsättningen siffror. När ett antal 2 ⁿ - 1 är faktiskt prim, sägs det vara ett av Mersenne Prime -numren.

a meRsenne Prime -nummer har också en relation till det som kallas perfekta nummer. Perfekt antal har haft en viktig plats i nummerbaserad mystik i tusentals år. Ett perfekt antal är ett nummer n vilket är lika med summan av dess delare, exklusive sig själv. For example, the number 6 is a perfect number, because it has the divisors 1, 2, and 3, and 1+2+3 is also equal to 6. The next perfect number is 28, with the divisors 1, 2, 4, 7, and 14. The next jumps up to 496, and the next is 8128. Each perfect number has the form 2^n-1(2ⁿ – 1), where 2 ⁿ - 1 är också ett Mersenne Prime -nummer. Detta innebär att vi också fokuserar på att hitta nya perfekta nummer när vi hittar ett nytt Mersenne Prime -nummer.

Som många antal av den här typen blir det svårare att hitta ett nytt Mersenne -primtal när vi utvecklas, eftersom siffrorna blir väsentligt mer komplexa och kräver mycket mer datorkraft för att kontrollera. Till exempel medan den tionde Mersenne Prime NuMBER, 89, kan snabbt kontrolleras på en hemdator, den tjugonde, 4423, kommer att beskatta en hemdator, och trettionde, 132049 kräver en stor mängd datorkraft. Den fyrtionde kända Mersenne Prime-numret, 20996011 innehåller mer än sex miljoner enskilda siffror.

Sökningen efter ett nytt Mersenne Prime -nummer fortsätter, eftersom de spelar en viktig roll i ett antal antaganden och problem. Kanske är den äldsta och mest intressanta frågan om det finns ett udda perfekt nummer. Om något sådant fanns, måste det vara delbart med minst åtta primtal och skulle ha minst sjuttiofem främsta faktorer. En av dess främsta delare skulle vara större än 10 ²⁰ , så det skulle vara ett verkligt monumentalt nummer. När datorkraften fortsätter att öka kommer emellertid varje nytt Mersenne Prime -nummer att bli lite mindre svårt, och kanske kommer dessa forntida problem så småningom att lösas.