Qu'est-ce qu'un numéro premier Mersenne?
Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier égal à un moins qu'une puissance de deux. Environ 44 ont été découverts à ce jour. Pendant de nombreuses années, on a pensé que tous les nombres de la forme 2 n - 1 étaient premiers. Au 16ème siècle, cependant, Hudalricus Regius démontra que 21.11 - 1 était 2047, avec les facteurs 23 et 89. Un certain nombre d'autres contre-exemples ont été montrés au cours des prochaines années. Au milieu du 17ème siècle, un moine français, Marin Mersenne, publia un livre, la Cogitata Physica-Mathematica . Dans ce livre, il a déclaré que 2 n - 1 était premier pour une valeur n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257.
À l'époque, il était évident qu'il n'aurait en aucun cas pu tester la véracité d'un nombre plus élevé. Dans le même temps, ses pairs ne pouvaient pas non plus prouver ou réfuter son affirmation. En fait, ce n’est qu’un siècle plus tard qu’Euler a pu démontrer que le premier nombre non prouvé sur la liste de Mersenne, 2 31 - 1, était en fait premier. Un siècle plus tard, au milieu du 19e siècle, il a été démontré que 2 127 - 1 était également primordial. Peu de temps après, il a été démontré que 2 61 - 1 était également premier, ce qui montre que Mersenne avait oublié au moins un chiffre de sa liste. Au début du XXe siècle, deux autres numéros lui manquèrent, 2 89 - 1 et 2 107 - 1. Avec l'arrivée des ordinateurs, il devint beaucoup plus facile de vérifier si les nombres étaient premiers ou pas, et en 1947, toute la gamme des les nombres premiers d'origine Mersenne avaient été vérifiés. La liste finale ajoutait 61, 89 et 107 à sa liste, et il s’est avéré que 257 n’était pas premier.
Néanmoins, pour son travail important dans la préparation d'un travail de base pour les mathématiciens ultérieurs, son nom a été attribué à cet ensemble de chiffres. Lorsqu'un nombre de 2 n - 1 est en fait premier, on dit qu'il est l'un des nombres premiers de Mersenne.
Un nombre premier de Mersenne a également une relation avec ce qu'on appelle des nombres parfaits. Les nombres parfaits occupent une place importante dans le mysticisme fondé sur le nombre depuis des milliers d'années. Un nombre parfait est un nombre n égal à la somme de ses diviseurs, à l'exclusion de lui-même. Par exemple, le nombre 6 est un nombre parfait, car il a les diviseurs 1, 2 et 3, et 1 + 2 + 3 est également égal à 6. Le nombre parfait suivant est 28, avec les diviseurs 1, 2, 4. , 7 et 14. Le prochain saute jusqu'à 496, et le suivant est 8128. Chaque nombre parfait a la forme 2 n-1 (2 n - 1), où 2 n - 1 est également un nombre premier de Mersenne. Cela signifie que lors de la recherche d'un nouveau nombre premier Mersenne, nous nous concentrons également sur la recherche de nouveaux nombres parfaits.
Comme beaucoup de nombres de ce type, trouver un nouveau nombre premier de Mersenne devient de plus en plus difficile à mesure que nous progressons, car les nombres deviennent beaucoup plus complexes et nécessitent une puissance de calcul de plus en plus importante à vérifier. Par exemple, alors que le dixième nombre premier Mersenne, 89, peut être vérifié rapidement sur un ordinateur à la maison, le vingtième, 4423, taxera un ordinateur à la maison, et le trentième, 132049, nécessitera une grande quantité de puissance de calcul. Le premier nombre connu de Mersenne, 20996011, contient plus de six millions de chiffres individuels.
La recherche d'un nouveau nombre premier de Mersenne se poursuit, car ils jouent un rôle important dans un certain nombre de conjectures et de problèmes. La question la plus ancienne et la plus intéressante est peut-être de savoir s'il existe un nombre parfait impair. Si une telle chose existait, elle devrait être divisible par au moins huit nombres premiers et comporter au moins soixante-quinze facteurs premiers. L'un de ses principaux diviseurs serait supérieur à 10 20 , donc ce serait un nombre véritablement monumental. Cependant, à mesure que la puissance de calcul augmente, chaque nouveau nombre premier de Mersenne deviendra un peu moins difficile et ces problèmes anciens seront peut-être résolus.