メルセンヌ素数とは何ですか？
メルセンヌの素数は、2のべき乗より1少ない素数です。 これまでに約44が発見されています。 長年、2 n – 1という形式のすべての数が素数であると考えられていました。 しかし16世紀には、フダリカスレジウスは2 11 – 1が2047であり、係数23と89であったことを実証しました。他のいくつかの反例が今後数年間で示されました。 17世紀半ば、フランスの修道士、マリンメルセンヌが本Cogitata Physica-Mathematicaを出版しました。 その本で、彼は、2 n – 1が2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、および257のn値に対して素数であると述べました。
当時、彼がより高い数字のいずれかの真実をテストすることができなかったことが明らかでした。 同時に、彼の仲間も彼の主張を証明または反証できませんでした。 実際、オイラーがメルセンヌのリストの最初の証明されていない数である2 31 – 1が実際に素数であることを証明できたのは1世紀後のことでした。 1世紀後の19世紀半ばには、2 127 – 1も素数であることが示されました。 その後まもなく、2 61 – 1も素数であることが示され、メルセンヌが彼のリストの少なくとも1つの数字を逃したことが示されました。 20世紀初頭に、彼が逃した2つの数字が追加されました。289 – 1と2 107 –1。数字が素数かどうかをチェックするコンピューターの出現により、1947年までにメルセンヌの全範囲元のメルセンヌ素数がチェックされていました。 最終リストでは、61、89、および107がリストに追加され、257が実際には素数ではないことが判明しました。
それにもかかわらず、後の数学者が仕事をするための基礎をレイアウトするという彼の重要な仕事のために、彼の名前はその数字のセットに与えられました。 2 n – 1の数が実際に素数である場合、それはメルセンヌ素数の1つと言われています。
メルセンヌの素数は、完全数として知られるものとも関係があります。 何千年もの間、数に基づく神秘主義では、完全な数が重要な位置を占めてきました。 完全数とは、それ自体を除いた除数の合計に等しい数nです。 たとえば、数値6は約数1、2、および3を持ち、1 + 2 + 3も6に等しいため、完全数です。次の完全数は28で、約数1、2、4です。 、7、および14。次は496までジャンプし、次は8128です。各完全数の形式は2 n-1 （2 n – 1）です。ここで、2 n – 1もメルセンヌ素数です。 これは、新しいメルセンヌの素数を見つける際に、新しい完全な数を見つけることに集中することを意味します。
この種の多くの数と同様に、数が大幅に複雑になり、チェックするためにはるかに多くの計算能力が必要になるため、新しいメルセンヌ素数を見つけることは、進行するにつれて難しくなります。 たとえば、10番目のメルセンヌ素数89は自宅のコンピューターですばやく確認できますが、20番目の4423は自宅のコンピューターに負担がかかり、30番目の132049は大量の計算能力を必要とします。 40番目の既知のメルセンヌ素数20996011には、600万を超える個々の数字が含まれています。
新しいメルセンヌ素数の探索は、多くの推測や問題で重要な役割を果たしているため、継続しています。 おそらく、最も古くて最も興味深い質問は、奇数の完全な数があるかどうかです。 そのようなものが存在する場合、少なくとも8つの素数で割り切れる必要があり、少なくとも75の素因数を持つことになります。 その主な除数の1つは10 20より大きいので、それは本当に記念碑的な数になります。 ただし、計算能力が増加し続けると、新しいメルセンヌの素数はそれぞれ少しずつ難しくなり、おそらくこれらの古代の問題は最終的に解決されるでしょう。