Hvad er et Mersenne-nummer?
Et Mersenne-primtal er et primtal, der er et mindre end en magt på to. Ca. 44 er hidtil blevet opdaget. I mange år troede man, at alle numre i formen 2 n - 1 var primære. I det 16. århundrede viste Hudalricus Regius imidlertid, at 2 11 - 1 var 2047, med faktorerne 23 og 89. Der blev vist en række andre modeksempler i de næste par år. I midten af 1600-tallet udgav en fransk munk, Marin Mersenne en bog, Cogitata Physica-Mathematica . I denne bog sagde han, at 2 n - 1 var den største for en n værdi på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257.
På det tidspunkt var det tydeligt, at der ikke var nogen måde, han kunne have testet sandheden om noget af de højere tal på. På samme tid kunne hans kammerater heller ikke bevise eller modbevise hans påstand. Faktisk var det først et århundrede senere, at Euler var i stand til at demonstrere, at det første ubeviste antal på Mersennes liste, 2 31 - 1, faktisk var førsteklasses. Et århundrede senere, i midten af det 19. århundrede, blev det vist, at 2 127 - 1 også var førende. Ikke længe efter blev det vist, at 2 61 - 1 også var førende, hvilket viste, at Mersenne havde savnet mindst et nummer på sin liste. I begyndelsen af det 20. århundrede blev der tilføjet to flere numre, som han havde gået glip af, 2 89 - 1 og 2 107 - 1. Med fremkomsten af computere blev det meget lettere at kontrollere, om numrene var primære eller ikke, og i 1947 blev hele Mersennes rækkevidde originale Mersenne primtal var blevet kontrolleret. Den endelige liste føjede 61, 89 og 107 til hans liste, og det viste sig, at 257 faktisk ikke var førsteklasses.
Ikke desto mindre blev hans navn givet til dette sæt numre for hans vigtige arbejde med at lægge et grundlag for senere matematikere at arbejde ud fra. Når et tal på 2 n - 1 faktisk er prim, siges det at være et af Mersenne-primtalene.
Et Mersenne-primtal har også et forhold til det, der er kendt som perfekte tal. Perfekte tal har haft et vigtigt sted i nummerbaseret mystik i tusinder af år. Et perfekt tal er et tal n, der er lig med summen af dets delere, eksklusive sig selv. For eksempel er tallet 6 et perfekt tal, fordi det har divisorerne 1, 2 og 3, og 1 + 2 + 3 er også lig med 6. Det næste perfekte tal er 28 med divisorerne 1, 2, 4 , 7 og 14. Det næste springer op til 496, og det næste er 8128. Hvert perfekt tal har formen 2 n-1 (2 n - 1), hvor 2 n - 1 også er et Mersenne-primtal. Det betyder, at vi ved at finde et nyt Mersenne-primtal også fokuserer på at finde nye perfekte numre.
Som mange numre af denne art bliver det vanskeligere at finde et nyt Mersenne-primtal, efterhånden som vi skrider frem, fordi tallene bliver væsentligt mere komplekse og kræver meget mere computerkraft for at kontrollere. For eksempel, mens det tiende Mersenne-hovednummer, 89, hurtigt kan kontrolleres på en hjemmecomputer, vil den tyvende, 4423, beskatte en hjemmecomputer, og den tredive, 132049 kræver en stor mængde computerkraft. Det førtiende kendte Mersenne-hovednummer 20996011 indeholder mere end seks millioner individuelle cifre.
Søgningen efter et nyt Mersenne-primtal fortsætter, da de spiller en vigtig rolle i en række formodninger og problemer. Det måske er det ældste og mest interessante spørgsmål, om der er et uligt perfekt tal. Hvis der eksisterede en sådan ting, skulle den være delbar med mindst otte primtal og have mindst 75 primære faktorer. En af dens hoveddelere ville være større end 10 20 , så det ville være et virkelig monumentalt tal. Da computerkraften fortsætter med at stige, vil hvert nyt Mersenne-primtal imidlertid blive lidt mindre vanskeligt, og måske vil disse gamle problemer i sidste ende blive løst.