메르 센 소수는 무엇입니까?

메르 센 소수는 2의 거듭 제곱보다 1이 작은 소수입니다. 현재까지 약 44 명이 발견되었습니다. 수년 동안 2 ⁿ – 1 형식의 모든 숫자가 소수라고 생각되었습니다. 그러나 16 세기에 Hudalricus Regius는 2 ¹¹ – 1이 2047이고 요인 23과 89가 있음을 보여주었습니다. 다음 몇 년 동안 다른 많은 반대 사례들이 보여졌습니다. 17 세기 중반 프랑스의 수도사 인 Marin Mersenne은 Cogitata Physica-Mathematica 라는 책을 출판했습니다. 이 책에서 그는 2 ⁿ – 1이 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 및 257의 n 값에 대해 소수라고 언급했습니다.

당시에 그가 더 높은 수의 진실을 시험 할 수있는 방법이 없었 음이 분명했다. 동시에 그의 동료들도 자신의 주장을 증명하거나 반증 할 수 없었습니다. 사실, 1 세기가 지나서 Euler가 Mersenne의 목록에서 처음으로 입증되지 않은 숫자 인 2 ³¹ – 1이 실제로 소수임을 입증 할 수 없었습니다. 1 세기 후인 19 세기 중반에는 ²¹²⁷ – 1도 주요한 것으로 나타났습니다. 그 후 얼마되지 않아 2 ⁶¹ – 1도 소수였으며 메르 센은 자신의 목록에서 하나 이상의 숫자를 놓쳤다는 것을 보여주었습니다. 20 세기 초, 2 ⁸⁹ – 1, 2 ¹⁰⁷ – 1의 숫자가 누락되었습니다. 컴퓨터가 등장하면서 숫자가 소수인지 훨씬 쉽게 확인되었고 1947 년에는 메르헨의 전 범위가 원래 메르 센 소수가 확인되었습니다. 최종 목록은 61, 89 및 107을 그의 목록에 추가했으며 257은 실제로 주요하지 않은 것으로 나타났습니다.

그럼에도 불구하고, 이후의 수학자들이 일할 수있는 토대를 마련하는 그의 중요한 일 때문에, 그의 이름은 그 숫자 집합에 주어졌습니다. 실제로 2 ⁿ – 1의 숫자가 소수 인 경우 메르 센 소수 중 하나라고합니다.

메르 센 소수는 또한 완벽한 숫자와 관계가 있습니다. 완벽한 숫자는 수천 년 동안 숫자 기반의 신비주의에서 중요한 자리를 차지했습니다. 완전한 숫자는 숫자 n 으로, 제수의 합과 같습니다 (자체 제외). 예를 들어, 숫자 6은 제수 1, 2, 3을 갖고 1 + 2 + 3도 6이므로 완전 숫자입니다. 다음 완전 숫자는 28이며 제수 1, 2, 4입니다. 다음은 최대 496까지, 다음은 8128입니다. 각각의 완벽한 숫자는 2 ^n-1 (2 ⁿ – 1) 형식이며, 여기서 2 ⁿ – 1은 메르 센 소수입니다. 이는 새로운 메르 센 소수를 찾을 때 새로운 완벽한 숫자를 찾는 데 집중한다는 것을 의미합니다.

이런 종류의 많은 숫자들과 마찬가지로, 우리가 진행함에 따라 새로운 메르 센 소수를 찾는 것이 더 어려워집니다. 숫자는 훨씬 더 복잡하고 확인하기 위해 더 많은 컴퓨팅 능력이 필요하기 때문입니다. 예를 들어, 10 번째 Mersenne 소수 (89)는 가정용 컴퓨터에서 신속하게 확인할 수 있지만, 2022 년 4423은 가정용 컴퓨터에 세금을 부과하며 132049 년에는 많은 양의 컴퓨팅 성능이 필요합니다. 40 번째로 알려진 메르 센 소수 (20996011)는 6 백만 개 이상의 개별 숫자를 포함합니다.

새로운 Mersenne 소수에 대한 검색은 여러 추측과 문제에서 중요한 역할을하기 때문에 계속됩니다. 아마도 가장 오래되고 가장 흥미로운 질문은 홀수 완벽한 숫자가 있는지 여부입니다. 그러한 것이 존재한다면, 적어도 8 개의 소수로 나눌 수 있어야하고, 적어도 75 개의 소수를 가질 것입니다. 주요 제수 중 하나는 10 ²⁰ 보다 크므로 정말 기념비적입니다. 그러나 컴퓨팅 성능이 지속적으로 향상됨에 따라 각각의 새로운 메르 센 소수는 조금 덜 어려워 질 것이며 아마도 이러한 고대 문제는 결국 해결 될 것입니다.