Che cos'è un numero Mersenne Prime?
Un numero primo di Mersenne è un numero primo che è uno in meno di una potenza di due. Circa 44 sono stati scoperti fino ad oggi. Per molti anni si pensava che tutti i numeri della forma 2 n - 1 fossero primi. Nel 16 ° secolo, tuttavia, Hudalricus Regius dimostrò che 2 11 - 1 era il 2047, con i fattori 23 e 89. Un numero di altri contro-esempi furono mostrati nei prossimi anni. A metà del XVII secolo, un monaco francese, Marin Mersenne pubblicò un libro, la Cogitata Physica-Mathematica . In quel libro, dichiarò che 2 n - 1 era primo per un valore n di 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257.
All'epoca, era evidente che non avrebbe potuto testare la verità su nessuno dei numeri più alti. Allo stesso tempo, anche i suoi colleghi non potevano provare o confutare la sua affermazione. In effetti, solo un secolo dopo Euler fu in grado di dimostrare che il primo numero non dimostrato nella lista di Mersenne, 2 31 - 1, era in effetti primo. Un secolo dopo, a metà del XIX secolo, fu dimostrato che anche 2 127 - 1 erano primi. Non molto tempo dopo è stato dimostrato che anche 2 61-1 era primo, a dimostrazione del fatto che Mersenne aveva perso almeno un numero nella sua lista. All'inizio del XX secolo furono aggiunti altri due numeri che aveva perso, 2 89 - 1 e 2 107 - 1. Con l'avvento dei computer che controllavano se i numeri fossero primi o meno diventarono molto più facili, e nel 1947 l'intera gamma di Mersenne i numeri primi originali di Mersenne erano stati controllati. L'elenco finale ha aggiunto 61, 89 e 107 alla sua lista, e si è scoperto che 257 non era in realtà primo.
Tuttavia, per il suo importante lavoro di preparazione di una base per i successivi matematici, il suo nome è stato dato a quella serie di numeri. Quando un numero di 2 n - 1 è in effetti primo, si dice che sia uno dei numeri primi di Mersenne.
Un numero primo di Mersenne ha anche una relazione con quelli che sono noti come numeri perfetti. I numeri perfetti hanno avuto un posto importante nel misticismo basato sui numeri per migliaia di anni. Un numero perfetto è un numero n che è uguale alla somma dei suoi divisori, escluso se stesso. Ad esempio, il numero 6 è un numero perfetto, perché ha i divisori 1, 2 e 3 e 1 + 2 + 3 è anche uguale a 6. Il numero perfetto successivo è 28, con i divisori 1, 2, 4 , 7 e 14. Il prossimo salta fino a 496 e il successivo è 8128. Ogni numero perfetto ha la forma 2 n-1 (2 n - 1), dove 2 n - 1 è anche un numero primo di Mersenne. Ciò significa che nel trovare un nuovo numero primo di Mersenne, ci concentriamo anche sulla ricerca di nuovi numeri perfetti.
Come molti numeri di questo tipo, trovare un nuovo numero primo di Mersenne diventa più difficile man mano che progrediamo, perché i numeri diventano sostanzialmente più complessi e richiedono molta più potenza di calcolo per il controllo. Ad esempio, mentre il decimo numero primo di Mersenne, 89, può essere controllato rapidamente su un computer di casa, il ventesimo, 4423, tasserà un computer di casa e il trentesimo, 132049 richiede una grande quantità di potenza di calcolo. Il quarantesimo numero primo di Mersenne noto, 20996011 contiene più di sei milioni di cifre singole.
La ricerca di un nuovo numero primo di Mersenne continua, poiché svolgono un ruolo importante in numerose congetture e problemi. Forse la domanda più antica e più interessante è se esiste un numero dispari perfetto. Se esistesse una cosa del genere, dovrebbe essere divisibile per almeno otto numeri primi e avrebbe almeno settantacinque fattori primi. Uno dei suoi primi divisori sarebbe più grande di 10 20 , quindi sarebbe un numero davvero monumentale. Man mano che la potenza di calcolo continua ad aumentare, ogni nuovo numero primo di Mersenne diventerà un po 'meno difficile e forse questi antichi problemi alla fine verranno risolti.