Cos'è un numero principale di Mersenne?

Un numero Prime di Mersenne è un numero primo che è meno di un potere di due. Fino ad oggi sono stati scoperti circa 44. Per molti anni si pensava che tutti i numeri della forma 2 n - 1 fossero primi. Nel XVI secolo, tuttavia, Hudalricus Regius ha dimostrato che 2 11 -1 era 2047, con i fattori 23 e 89. Numerosi altri contro-esempi sono stati mostrati nei prossimi anni. A metà del XVII secolo, un monaco francese, Marin Mersenne pubblicò un libro, The Cogitata Physica-Mathematica . In quel libro, ha affermato che 2 n - 1 era primo per un valore n di 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257.

All'epoca, era evidente che non avrebbe potuto testare la verità di nessuno dei numeri più elevati. Allo stesso tempo, anche i suoi coetanei non potevano dimostrare o confutare la sua affermazione. In effetti, non è stato fino a un secolo dopo che Euler fu in grado di dimostrareMangiava che il primo numero non provato nell'elenco di Mersenne, 2 31 - 1, era in realtà PRIME. Un secolo dopo, a metà del XIX secolo, fu dimostrato che anche 2 127 -1 era primo. Non molto tempo dopo è stato dimostrato che 2 61 - 1 era anche primo, dimostrando che Mersenne aveva perso almeno un numero nella sua lista. All'inizio del 20 ° secolo furono aggiunti altri due numeri che aveva perso, 2 89 -1 e 2 107 -1. Con l'avvento dei computer che controllava se i numeri erano primi o meno divennero molto più facili e nel 1947 l'intera gamma di mersenne i numeri primari di Mersenne di Mersenne era stato controllato. L'elenco finale ha aggiunto 61, 89 e 107 alla sua lista, e si è scoperto che 257 non era in realtà Prime.

Tuttavia, per il suo importante lavoro nel presentare una base per i matematici successivi da cui lavorare, il suo nome è stato dato a quel set di numeri. Quando un numero di 2 n - 1 è in realtà primi, si dice che sia uno dei numeri primi di Mersenne.

a meIl numero di Rsenne Prime ha anche una relazione con quelli che sono noti come numeri perfetti. I numeri perfetti hanno avuto un posto importante nel misticismo basato su numeri per migliaia di anni. Un numero perfetto è un numero n che è uguale alla somma dei suoi divisori, esclusi se stessa. Ad esempio, il numero 6 è un numero perfetto, perché ha i divisori 1, 2 e 3 e 1+2+3 è uguale a 6. Il numero perfetto perfetto è 28, con i divisori 1, 2, 4, 7 e 14. Il prossimo salta fino a 496 e il successivo è 8128. Ogni numero perfetto ha la forma 2 (2 ) 2 n - 1 è anche un numero principale di Mersenne. Ciò significa che, nel trovare un nuovo numero Prime di Mersenne, ci concentriamo anche sulla ricerca di nuovi numeri perfetti.

Come molti numeri di questo tipo, trovare un nuovo numero di Mersenne Prime diventa più difficile man mano che progrediamo, perché i numeri diventano sostanzialmente più complessi e richiedono molta più potenza di calcolo per verificare. Ad esempio, mentre il decimo Mersenne Prime NuMber, 89, può essere controllato rapidamente su un computer di casa, il ventesimo, 4423, tasserà un computer di casa e il trentesimo, 132049, richiede una grande quantità di potenza di elaborazione. I forti noto di Mersenne Prime Number, 20996011 contiene più di sei milioni di cifre.

La ricerca di un nuovo numero Prime di Mersenne continua, poiché svolgono un ruolo importante in una serie di congetture e problemi. Forse la domanda più antica e interessante è se esiste un numero perfetto. Se esistesse una cosa del genere, dovrebbe essere divisibile da almeno otto numeri primi e avrebbe almeno settantacinque fattori primi. Uno dei suoi principali divisori sarebbe più grande di 10 20 , quindi sarebbe un numero veramente monumentale. Man mano che la potenza di calcolo continua ad aumentare, tuttavia, ogni nuovo numero Prime di Mersenne diventerà un po 'meno difficile, e forse questi antichi problemi saranno infine risolti.