Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist eine geometrische Beziehung zwischen einer Linie und einer Kurve, sodass die Kurve und die Linie nur einen gemeinsamen Punkt haben. Die Tangente befindet sich immer auf der äußeren oder konvexen Seite der Kurve. Es ist unmöglich, innerhalb einer Kurve oder eines Kreises eine Tangente zu zeichnen. Tangenten bestimmen die Steigung einer Kurve an einem Punkt. Sie spielen eine Rolle in Geometrie, Trigonometrie und Analysis.
Jeder Kreis hat unendlich viele Tangenten. Die vier Tangenten eines Kreises, die 90 Grad voneinander entfernt sind, bestehen aus einem Quadrat, das den Kreis einschreibt. Mit anderen Worten, ein Kreis kann innerhalb eines exakten Quadrats gezeichnet werden und berührt das Quadrat an vier Punkten. Dies zu wissen ist nützlich, um viele Geometrieprobleme zu lösen, die Bereiche betreffen.
Kugeln können auch eine Tangentenlinie haben, obwohl es üblicher ist, von einer Tangentenebene zu sprechen, die nur einen Punkt gemeinsam mit der Kugel hat. Eine unendliche Anzahl von Tangentenlinien könnte durch diesen Schnittpunkt verlaufen, und alle wären in der Tangentenebene enthalten. Diese Konzepte werden zur Lösung von Volumenproblemen verwendet. Eine Kugel kann innerhalb eines Würfels platziert werden. Wenn der Durchmesser des Würfels der Länge der Würfelseite entspricht und alle Seiten in einem Würfel gleich sind, teilt sich die Kugel sechs Punkte mit dem Würfel.
In der Trigonometrie ist der Tangens eines Winkels eines Dreiecks als das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der benachbarten Seite definiert. Das Dreieck wird durch die Strahlen zweier Radien vom Mittelpunkt eines Kreises gebildet. Der erste Strahl bildet die Basis des Dreiecks, und der zweite Strahl schneidet sich mit der Tangentenlinie des ersten. Die Steigung wird oft als Anstieg über den Lauf definiert. Somit ist die Tangente oder Steigung der Linie, die die beiden Strahlen verbindet, dieselbe wie die trigonometrische Identität.
Wenn eine Tangente an eine Kurve betrachtet wird, muss der Betrachter den Schnittpunkt notieren, es sei denn, die Kurve ist der Kreisbogen. Dies liegt daran, dass die Kurve keinen konstanten Radius hat. Ein Beispiel hierfür könnte die Flugbahn eines Baseballs sein, nachdem er von einem Schläger getroffen wurde.
Der Ball beschleunigt vom Schläger weg, erreicht dann aber seinen Scheitelpunkt und sinkt aufgrund der Schwerkraft ab. Die Flugbahn hat die Form einer Parabel. Die Tangente an die Kurve an einem beliebigen Punkt ergibt die Geschwindigkeit des Balls zu diesem Zeitpunkt.
Diese mathematische Beschreibung der Steigung einer Kurve mit inkonstanter Krümmung ist für das Studium der Analysis von entscheidender Bedeutung. Mit Calculus kann man die augenblickliche Änderungsrate zu einem Zeitpunkt betrachten. Dies ist nützlich, um die Reaktionsgeschwindigkeit von Prozessen, den Raketentreibstoffverbrauch für den Start von Raumschiffen oder die genaue Position zum Fangen eines Baseballs zu steuern.