Was ist ein Vektorfeld?
Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die Vektoren verschiedenen Zeitpunkten und Orten zuordnet. Es gibt zwei Arten von Vektorfeldern: Geschwindigkeitsvektorfelder und Kraftfelder. Vektorfelder werden sowohl von Mathematikern als auch von Physikern in der Vektorrechnung untersucht.
Ein Vektor wird als Pfeil betrachtet, der am Ursprung einer Ebene beginnt und zu einem Punkt im Raum führt. Dieser Punkt ist im Grunde genommen ein Zahlenpaar, das im euklidischen Raum aufgetragen werden kann. Vektoren werden in Physik und Mathematik untersucht und zur Modellierung von Geschwindigkeit und Kraft verwendet. Wenn zwei Vektoren addiert werden, ist das Ergebnis eine Kraft aus zwei einzelnen Kräften, die gleichzeitig auf dasselbe Objekt angewendet werden. Viele Vektoren bilden ein Vektorfeld, mit dem Kräfte zu allen Zeitpunkten und an allen Orten symbolisiert werden.
Die Domäne eines Vektorfeldes ist eine Menge von Punkten, und sein Bereich ist eine Menge von Vektoren. Ein Vektorfeld ist also im Wesentlichen eine Funktion, die jedem Punkt in einer zwei- oder dreidimensionalen Ebene einen zwei- oder dreidimensionalen Vektor zuweist. Vektorfelder, die dreidimensional sind, sind normalerweise zu schwierig von Hand zu zeichnen und erfordern die Unterstützung eines Computeralgebrasystems.
Vektoren und das Vektorfeld, das sie bilden, werden auf Ereignisse angewendet, die im täglichen Leben auftreten. Beispielsweise können sie Windgeschwindigkeiten darstellen, die während eines Tornados oder anderer Meeresströmungen auftreten. Geschwindigkeitsvektorfelder geben Geschwindigkeit und Richtung an und wurden verwendet, um die Geschwindigkeit anzuzeigen, mit der sich Luft an Schaufelblättern vorbeibewegt. Ein Kraftfeld ist eine andere Art von Vektorfeld, das jeden Zeitpunkt und Raum mit einem Kraftvektor korreliert. Solche Vektorfelder sind besonders nützlich bei der Modellierung von Magnet- und Gravitationskräften.
Mathematiker und Physiker können auch Linien- und Oberflächenintegrale von Vektorfeldern berechnen. Ein Linienintegral kann als "Kurvenintegral" betrachtet werden und wird häufig verwendet, um herauszufinden, wie sich ein Objekt entlang einer Kurve bewegt. Oberflächenintegrale können verwendet werden, um die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der sich Flüssigkeit über eine Oberfläche bewegt.
Ein Vektorfeld kann als konservativ angesehen werden, wenn das Feld einen Gradienten einer Skalarfunktion darstellt. Das heißt, das Feld repräsentiert eine Steigung oder eine Steigung. Nicht alle Vektorfelder sind konservativ, aber sie tauchen regelmäßig in der Physik auf.