Was ist der Satz von Bayes?
Der Bayes-Satz, manchmal auch Bayes-Regel oder das Prinzip der inversen Wahrscheinlichkeit genannt, ist ein mathematischer Satz, der sich sehr schnell aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie ergibt. In der Praxis wird es verwendet, um die aktualisierte Wahrscheinlichkeit eines Zielphänomens oder einer Zielhypothese H zu berechnen, wenn neue empirische Daten X und Hintergrundinformationen oder eine frühere Wahrscheinlichkeit vorliegen.
Die vorherige Wahrscheinlichkeit einer Hypothese wird normalerweise durch einen Prozentsatz zwischen 0% und 100% oder eine Zahl zwischen 0 und 1 dargestellt. Diese Wahrscheinlichkeit wird oft als Vertrauensgrad bezeichnet und soll von Beobachter zu Beobachter variieren, da nicht alle Beobachter haben die gleiche Erfahrung gemacht und können daher für keine gegebene Hypothese äquivalente Wahrscheinlichkeitsschätzungen vornehmen. Die Anwendung des Bayes'schen Theorems in einem wissenschaftlichen Kontext wird als Bayes'sche Inferenz bezeichnet und ist eine quantitative Formalisierung der wissenschaftlichen Methode. Es ermöglicht die optimale Überarbeitung der theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand experimenteller Ergebnisse.
Der Satz von Bayes im Zusammenhang mit wissenschaftlichen Schlussfolgerungen besagt Folgendes: "Die neue Wahrscheinlichkeit, dass eine Hypothese H wahr ist (als hintere Wahrscheinlichkeit bezeichnet), wenn neue Beweise X vorliegen, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass wir diese Beweise X beobachten würden, wenn H tatsächlich wahr ist (als bedingte Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeit bezeichnet) multipliziert mit der vorherigen Wahrscheinlichkeit, dass H wahr ist, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von X. "
Eine übliche Wiederholung des Vorstehenden in Bezug darauf, wie ein Testergebnis zur Wahrscheinlichkeit beiträgt, dass ein bestimmter Patient Krebs hat, kann wie folgt dargestellt werden:
p (positiv | krebs) * p (krebs)
_______________________________________________
p (positiv | Krebs) * p (Krebs) + p (positiv | ~ Krebs) * p (~ Krebs)
Der vertikale Strich bedeutet "gegeben". Die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient nach einem positiven Ergebnis bei einem bestimmten Krebstest Krebs hat, entspricht der Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses bei Krebs (abgeleitet aus früheren Ergebnissen) multipliziert mit der vorherigen Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person Krebs hat (relativ niedrig), geteilt durch diese Wahrscheinlichkeit Die gleiche Zahl zuzüglich der Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses multipliziert mit der vorherigen Wahrscheinlichkeit, keinen Krebs zu haben.
Es klingt kompliziert, aber die obige Gleichung kann verwendet werden, um die aktualisierte Wahrscheinlichkeit einer Hypothese zu bestimmen, wenn ein quantifizierbares experimentelles Ergebnis vorliegt.