Qual é o teorema de Bayes?

O teorema de Bayes, às vezes chamado de regra de Bayes ou o princípio da probabilidade inversa, é um teorema matemático que segue muito rapidamente dos axiomas da teoria da probabilidade. Na prática, é usado para calcular a probabilidade atualizada de algum fenômeno-alvo ou hipótese H, dados novos dados empíricos X e algumas informações básicas, ou probabilidade anterior.

A probabilidade anterior de alguma hipótese é geralmente representada por uma porcentagem entre 0% e 100%, ou algum número entre 0 e 1. Essa probabilidade é freqüentemente chamada de grau de confiança e deve variar de observador para observador, como nem todos os observadores. tiveram a mesma experiência e, portanto, não podem fazer estimativas de probabilidade equivalentes para nenhuma hipótese. A aplicação do teorema de Bayes em um contexto científico é denominada inferência bayesiana, que é uma formalização quantitativa do método científico. Permite a revisão ideal das distribuições teóricas de probabilidade, dados os resultados experimentais.

O teorema de Bayes, no contexto da inferência científica, diz o seguinte: "A nova probabilidade de alguma hipótese H ser verdadeira (chamada probabilidade posterior), dada nova evidência X é igual à probabilidade de observarmos essa evidência X, dado que H é realmente verdadeiro (chamada probabilidade condicional, ou probabilidade), vezes a probabilidade anterior de H ser verdadeira, todas divididas pela probabilidade de X. "

Uma reafirmação comum do acima exposto em termos de como um resultado do teste contribui para a probabilidade de um determinado paciente ter câncer pode ser mostrada da seguinte maneira:

p (positivo | câncer) * p (câncer)

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p (positivo | câncer) * p (câncer) + p (positivo | ~ câncer) * p (~ câncer)

A barra vertical significa "dado". A probabilidade de o paciente ter câncer após um resultado positivo em um determinado teste de câncer é equivalente à probabilidade de um resultado positivo dado câncer (derivado de resultados passados) vezes a probabilidade anterior de qualquer pessoa com câncer (relativamente baixa) dividida por essa mesmo número, mais a probabilidade de um falso positivo vezes a probabilidade anterior de não ter câncer.

Parece complicado, mas a equação acima pode ser usada para determinar a probabilidade atualizada de qualquer hipótese, dado qualquer resultado experimental quantificável.