Wat is de stelling van Bayes?

De stelling van Bayes, soms de regel van Bayes of het principe van omgekeerde waarschijnlijkheid genoemd, is een wiskundige stelling die zeer snel volgt uit de axioma's van de waarschijnlijkheidstheorie. In de praktijk wordt het gebruikt om de bijgewerkte waarschijnlijkheid van een bepaald doelverschijnsel of hypothese H te berekenen bij nieuwe empirische gegevens X en enige achtergrondinformatie of eerdere waarschijnlijkheid.

De eerdere waarschijnlijkheid van een hypothese wordt meestal weergegeven met een percentage tussen 0% en 100%, of een getal tussen 0 en 1. Deze kans wordt vaak mate van vertrouwen genoemd en is bedoeld om te variëren van waarnemer tot waarnemer, aangezien niet alle waarnemers dezelfde ervaring hebben gehad en daarom voor geen enkele hypothese gelijkwaardige waarschijnlijkheidsramingen kunnen maken. De toepassing van de stelling van Bayes in een wetenschappelijke context wordt Bayesiaanse inferentie genoemd, wat een kwantitatieve formalisatie van de wetenschappelijke methode is. Het laat de optimale revisie toe van theoretische kansverdelingen gegeven experimentele resultaten.

De stelling van Bayes in de context van wetenschappelijke inferentie zegt het volgende: "De nieuwe waarschijnlijkheid dat sommige hypothese H waar is (posterieure waarschijnlijkheid genoemd) met nieuw bewijs X is gelijk aan de waarschijnlijkheid dat we dit bewijs zouden observeren X gegeven dat H feitelijk waar is (voorwaardelijke waarschijnlijkheid of waarschijnlijkheid genoemd), maal de eerdere waarschijnlijkheid dat H waar is, allemaal gedeeld door de waarschijnlijkheid van X. "

Een algemene herformulering van het bovenstaande in termen van hoe een testresultaat bijdraagt ​​aan de waarschijnlijkheid dat een bepaalde patiënt kanker heeft, kan als volgt worden aangetoond:

p (positief | kanker) * p (kanker)

_______________________________________________

p (positief | kanker) * p (kanker) + p (positief | ~ kanker) * p (~ kanker)

De verticale balk betekent "gegeven". De kans dat de patiënt kanker heeft na een positief resultaat op een bepaalde kankertest is gelijk aan de kans op een positief resultaat gegeven kanker (afgeleid van resultaten uit het verleden) maal de eerdere waarschijnlijkheid van een bepaalde persoon met kanker (relatief laag) alle gedeeld door dat hetzelfde aantal, plus de kans op een fout-positieve maal de eerdere kans om geen kanker te hebben.

Het klinkt ingewikkeld, maar de bovenstaande vergelijking kan worden gebruikt om de bijgewerkte waarschijnlijkheid van elke hypothese te bepalen, gegeven een kwantificeerbaar experimenteel resultaat.