¿Cuál es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, a veces llamado la regla de Bayes o el principio de probabilidad inversa, es un teorema matemático que se sigue muy rápidamente de los axiomas de la teoría de probabilidad. En la práctica, se utiliza para calcular la probabilidad actualizada de algún fenómeno objetivo o hipótesis H dados los nuevos datos empíricos X y alguna información de fondo, o probabilidad previa.

La probabilidad previa de alguna hipótesis generalmente está representada por algún porcentaje entre 0% y 100%, o algún número entre 0 y 1. Esta probabilidad a menudo se llama grado de confianza , y está destinada a variar de un observador a otro, ya que no todos los observadores han tenido la misma experiencia y, por lo tanto, no pueden hacer estimaciones de probabilidad equivalentes para una hipótesis dada. La aplicación del teorema de Bayes en un contexto científico se llama inferencia bayesiana, que es una formalización cuantitativa del método científico. Permite la revisión óptima de distribuciones de probabilidad teóricas dados los resultados experimentales.

El teorema de Bayes en el contexto de la inferencia científica dice lo siguiente: "La nueva probabilidad de que alguna hipótesis H sea verdadera (llamada probabilidad posterior) dada la nueva evidencia X es igual a la probabilidad de que observemos esta evidencia X dado que H es realmente cierto (llamada probabilidad condicional, o probabilidad), multiplicada por la probabilidad previa de que H sea verdadera, todo dividido por la probabilidad de X ".

Una repetición común de lo anterior en términos de cómo el resultado de una prueba contribuye a la probabilidad de que un paciente dado tenga cáncer se puede mostrar de la siguiente manera:

p (positivo | cáncer) * p (cáncer)

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p (positivo | cáncer) * p (cáncer) + p (positivo | ~ cáncer) * p (~ cáncer)

La barra vertical significa "dado". La probabilidad de que el paciente tenga cáncer después de un resultado positivo en una determinada prueba de cáncer es equivalente a la probabilidad de un resultado positivo dado el cáncer (derivado de resultados anteriores) multiplicado por la probabilidad previa de que una persona determinada tenga cáncer (relativamente bajo), todo dividido por eso mismo número, más la probabilidad de un falso positivo multiplicado por la probabilidad previa de no tener cáncer.

Suena complicado, pero la ecuación anterior se puede usar para determinar la probabilidad actualizada de cualquier hipótesis dado cualquier resultado experimental cuantificable.