Co to jest twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa, czasami nazywane regułą Bayesa lub zasadą odwrotnego prawdopodobieństwa, jest twierdzeniem matematycznym, które bardzo szybko wynika z aksjomatów teorii prawdopodobieństwa. W praktyce służy do obliczania zaktualizowanego prawdopodobieństwa jakiegoś docelowego zjawiska lub hipotezy H, biorąc pod uwagę nowe dane empiryczne X i pewne informacje podstawowe lub wcześniejsze prawdopodobieństwo.

Wcześniejsze prawdopodobieństwo pewnej hipotezy jest zwykle reprezentowane przez pewien procent od 0% do 100% lub pewną liczbę od 0 do 1. Prawdopodobieństwo to często nazywa się stopniem pewności i ma różnić się od obserwatora do obserwatora, ponieważ nie wszyscy obserwatorzy mają takie samo doświadczenie i dlatego nie mogą dokonać równoważnych oszacowań prawdopodobieństwa dla dowolnej hipotezy. Zastosowanie twierdzenia Bayesa w kontekście naukowym nazywa się wnioskowaniem bayesowskim, które jest ilościową formalizacją metody naukowej. Umożliwia optymalną rewizję teoretycznych rozkładów prawdopodobieństwa przy podanych wynikach eksperymentalnych.

Twierdzenie Bayesa w kontekście wnioskowania naukowego mówi, co następuje: „Nowe prawdopodobieństwo, że niektóre hipotezy H są prawdziwe (zwane prawdopodobieństwem późniejszym), biorąc pod uwagę nowy dowód X, jest równe prawdopodobieństwu zaobserwowania tego dowodu X, biorąc pod uwagę, że H jest rzeczywiście prawdziwe (zwane prawdopodobieństwem warunkowym lub prawdopodobieństwem), razy wcześniejsze prawdopodobieństwo, że H jest prawdziwe, wszystkie podzielone przez prawdopodobieństwo X. ”

Częste powtórzenie powyższego pod względem tego, w jaki sposób wynik testu przyczynia się do prawdopodobieństwa raka u danego pacjenta, można przedstawić następująco:

p (pozytywny | rak) * p (rak)

_______________________________________________

p (pozytywny | rak) * p (rak) + p (pozytywny | ~ rak) * p (~ rak)

Pionowy pasek oznacza „dany”. Prawdopodobieństwo, że pacjent ma raka po pozytywnym wyniku w określonym teście raka, jest równoważne prawdopodobieństwu pozytywnego wyniku danego raka (uzyskanego z wcześniejszych wyników) pomnożonego przez wcześniejsze prawdopodobieństwo jakiejkolwiek osoby mającej raka (stosunkowo niskiej) wszystkie podzielone przez to ta sama liczba plus prawdopodobieństwo fałszywie dodatniego pomnożenia wcześniejszego prawdopodobieństwa braku raka.

Brzmi to skomplikowanie, ale powyższe równanie można wykorzystać do określenia zaktualizowanego prawdopodobieństwa dowolnej hipotezy przy danym kwantyfikowalnym wyniku eksperymentalnym.