Was ist Eulers Formel?
Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert entwickelte zwei Gleichungen, die als Euler-Formel bekannt wurden. Eine dieser Gleichungen bezieht sich auf die Anzahl der Eckpunkte, Flächen und Kanten eines Polyeders. Die andere Formel bezieht die fünf gebräuchlichsten mathematischen Konstanten miteinander. Diese beiden Gleichungen rangierten an zweiter und erster Stelle als die elegantesten mathematischen Ergebnisse gemäß "The Mathematical Intelligencer".
Die Euler-Formel für Polyeder wird manchmal auch als Euler-Descartes-Theorem bezeichnet. Es wird angegeben, dass die Anzahl der Flächen plus der Anzahl der Eckpunkte minus der Anzahl der Kanten auf einem Polyeder immer gleich zwei ist. Es wird geschrieben als F + V - E = 2. Ein Würfel hat beispielsweise sechs Flächen, acht Eckpunkte und 12 Kanten. Wenn Sie sich in die Euler-Formel 6 + 8 - 12 einfügen, ist das in der Tat zwei.
Es gibt Ausnahmen zu dieser Formel, da sie nur für ein Polyeder gilt, das sich nicht selbst schneidet. Bekannte geometrische Formen wie Kugeln, Würfel, Tetraeder und Achtecke sind sich nicht überschneidende Polyeder. Ein sich überschneidendes Polyeder würde jedoch erzeugt, wenn jemand zwei der Eckpunkte eines sich nicht überschneidenden Polyeders verbinden würde. Dies würde dazu führen, dass das Polyeder die gleiche Anzahl von Flächen und Kanten hat, jedoch eine Ecke weniger. Es ist also offensichtlich, dass die Formel nicht mehr zutrifft.
Andererseits kann eine allgemeinere Version der Euler-Formel auf Polyeder angewendet werden, die sich überschneiden. Diese Formel wird häufig in der Topologie verwendet, bei der es sich um die Untersuchung räumlicher Eigenschaften handelt. In dieser Version der Formel ist F + V - E gleich einer Zahl, die als Euler-Charakteristik bezeichnet wird und die häufig durch den griechischen Buchstaben Chi symbolisiert wird. Beispielsweise haben sowohl der ringförmige Torus als auch der Mobius-Streifen eine Euler-Charakteristik von Null. Die Euler-Kennlinie kann auch kleiner als Null sein.
Die zweite Euler-Formel enthält die mathematischen Konstanten e, i, Π, 1 und 0. E wird häufig als Euler-Zahl bezeichnet und ist eine irrationale Zahl, die auf 2,72 gerundet wird. Die imaginäre Zahl i ist als Quadratwurzel von -1 definiert. Pi (Π), die Beziehung zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises, beträgt ungefähr 3,14, ist aber wie e eine irrationale Zahl.
Diese Formel wird als e (i * Π) + 1 = 0 geschrieben. Euler entdeckte, dass, wenn x in der trigonometrischen Identität durch Π ersetzt wurde, e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x) das Ergebnis ist war das, was wir heute als Eulers Formel kennen. Zusätzlich zur Beziehung dieser fünf Grundkonstanten zeigt die Formel auch, dass das Erhöhen einer irrationalen Zahl auf die Potenz einer imaginären irrationalen Zahl zu einer reellen Zahl führen kann.