Was ist Eulers Formel?

Der Schweizer Mathematiker aus dem 18. Jahrhundert Leonhard Euler entwickelte zwei Gleichungen, die als Eulers Formel bekannt wurden. Eine dieser Gleichungen bezieht die Anzahl der Eckpunkte, Gesichter und Kanten an einem Polyeder. Die andere Formel bezieht die fünf häufigsten mathematischen Konstanten miteinander. Diese beiden Gleichungen belegten nach "The Mathematical Intelligencer" den zweiten und ersten als die elegantesten mathematischen Ergebnisse. Es heißt, dass die Anzahl der Gesichter sowie die Anzahl der Scheitelpunkte abzüglich der Anzahl der Kanten an einem Polyeder immer zwei entspricht. Es ist als F + V - E = 2 geschrieben. Zum Beispiel hat ein Würfel sechs Gesichter, acht Scheitelpunkte und 12 Kanten. Wenn Sie in die Formel von Euler anschließen, sind 6 + 8 - 12 in der Tat zwei. Bekannte geometrische Formen einschließlich Kugeln, CubES, Tetraeder und Octagons sind alle nicht interpretierende Polyeder. Ein sich überschneidendes Polyeder würde jedoch erzeugt, wenn jemand zwei der Scheitelpunkte eines nicht intersektenversenderen Polyeders beitreten würde. Dies würde dazu führen, dass das Polyeder die gleiche Anzahl von Gesichtern und Kanten hat, aber ein weniger Eckpunkt, daher ist es offensichtlich, dass die Formel nicht mehr wahr ist.

Andererseits kann eine allgemeinere Version der Eulers Formel auf Polyeder angewendet werden, die sich kreuzen. Diese Formel wird häufig in der Topologie verwendet, nämlich die Untersuchung räumlicher Eigenschaften. In dieser Version der Formel entspricht F + V - E einer Zahl, die als Eulers Merkmal bezeichnet wird und oft durch den griechischen Buchstaben chi symbolisiert wird. Zum Beispiel haben sowohl der Donut-förmige Torus als auch der Mobius-Streifen eine Euler-Merkmale von Null. Eulers Merkmal kann ebenfalls weniger als Null sein.

Die zweite Eulers -Formel enthält das MathematiCal Constanten E, I, π, 1 und 0. E, was oft als Eulers Zahl bezeichnet wird und eine irrationale Zahl ist, die auf 2,72 rundet. Die imaginäre Zahl I ist definiert als die Quadratwurzel von -1. Pi (π), die Beziehung zwischen dem Durchmesser und dem Umfang eines Kreises, beträgt ungefähr 3,14, ist jedoch wie e eine irrationale Zahl.

Diese Formel wird als e + 1 = 0 geschrieben. Euler entdeckte, dass π in der trigonometrischen Identität E ^(i*π) = cos (x) + i*sin (x) ersetzt wurde, was wir jetzt als Euller -Formel kennen. Zusätzlich zur Beziehung zwischen diesen fünf grundlegenden Konstanten zeigt die Formel auch, dass die Erhöhung einer irrationalen Zahl auf die Macht einer imaginären irrationalen Zahl zu einer reellen Zahl führen kann.