Co je Eulerova formule?

Švýcarský matematik z 18. století Leonhard Euler vyvinul dvě rovnice, které se staly známými jako Eulerova formule. Jedna z těchto rovnic se týká počtu vrcholů, ploch a hran na mnohostěnu. Druhý vzorec se týká pěti nejběžnějších matematických konstant. Tyto dvě rovnice se umístily na druhém a prvním místě jako nejelegantnější matematické výsledky podle „The Mathematical Intelligencer“.

Eulerova formule pro polyhedru se někdy také nazývá Euler-Descartova věta. Uvádí, že počet ploch plus počet vrcholů mínus počet hran na mnohostěnu se vždy rovná dvěma. Je zapsána jako F + V - E = 2. Například krychle má šest ploch, osm vrcholů a 12 hran. Připojením k Eulerově formuli se 6 + 8 - 12 ve skutečnosti rovná dvěma.

Existují výjimky z tohoto vzorce, protože platí pouze pro mnohostěn, který se neprotíná. Známé geometrické tvary včetně koulí, krychlí, čtyřstěnu a osmiúhelníků jsou všechny protínající se mnohostěny. Pokud by se však někdo připojil ke dvěma vrcholům neprotínajícího se mnohostěnu, vytvořil by se protínající se polyhedron. To by mělo za následek, že mnohostěn má stejný počet ploch a hran, ale o jeden menší vrchol, takže je zřejmé, že vzorec již není pravdivý.

Na druhé straně, obecnější verze Eulerova vzorce může být aplikována na polyhedru, která se protíná. Tento vzorec se často používá v topologii, což je studium prostorových vlastností. V této verzi vzorce se F + V - E rovná číslu zvanému Eulerova charakteristika, což je často symbolizováno řeckým písmenem chi. Například jak prstenec ve tvaru koblihy, tak i pásek Mobius mají Eulerovu charakteristiku nulovou. Eulerova charakteristika může být také menší než nula.

Druhý Eulerův vzorec zahrnuje matematické konstanty e, i, Π, 1 a 0. E, které se často nazývá Eulerovo číslo a je iracionálním číslem, které se zaokrouhlí na 2,72. Imaginární číslo i je definováno jako druhá odmocnina -1. Pi (Π), vztah mezi průměrem a obvodem kružnice, je přibližně 3,14, ale stejně jako e je iracionální číslo.

Tento vzorec je zapsán jako e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Euler zjistil, že pokud Π byl v trigonometrické identitě nahrazen x ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), výsledek to, co nyní známe jako Eulerova formule. Kromě vztahu k těmto pěti základním konstantám vzorec také ukazuje, že zvýšení iracionálního čísla na sílu imaginárního iracionálního čísla může mít za následek skutečné číslo.