Wat is de formule van Euler?
De 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontwikkelde twee vergelijkingen die bekend staan als de formule van Euler. Een van deze vergelijkingen heeft betrekking op het aantal hoekpunten, gezichten en randen op een polyhedron. De andere formule relateert de vijf meest voorkomende wiskundige constanten aan elkaar. Deze twee vergelijkingen stonden respectievelijk tweede en eerste, als de meest elegante wiskundige resultaten volgens "The Mathematical Intelligencer."
Euler's formule voor polyhedra wordt soms ook de stelling van Euler-Descartes genoemd. Het stelt dat het aantal gezichten, plus het aantal hoekpunten, minus het aantal randen op een polyhedron altijd gelijk is aan twee. Het is geschreven als F + V - E = 2. Een kubus heeft bijvoorbeeld zes gezichten, acht hoekpunten en 12 randen. Pluggen op de formule van Euler, 6 + 8 - 12 doet in feite gelijk aan twee.
Er zijn uitzonderingen op deze formule, omdat het alleen geldt voor een polyhedron die zich niet snijdt. Bekende geometrische vormen inclusief bollen, welpES, Tetrahedra en Octagons zijn allemaal niet-geïnformeerde polyhedra. Een kruisende polyhedron zou echter worden gecreëerd als iemand zich zou voegen aan twee van de hoekpunten van een niet-in -ersecterende polyhedron. Dit zou ertoe leiden dat de polyhedron hetzelfde aantal gezichten en randen heeft, maar één minder vertice, dus het is duidelijk dat de formule niet langer waar is.
Aan de andere kant kan een meer algemene versie van de formule van Euler worden toegepast op polyhedra die zich kruisen. Deze formule wordt vaak gebruikt in de topologie, wat de studie van ruimtelijke eigenschappen is. In deze versie van de formule is F + V - E gelijk aan een getal genaamd Euler's kenmerk, dat vaak wordt gesymboliseerd door de Griekse letter Chi. Zowel de donutvormige Torus als de Mobius-strip hebben bijvoorbeeld een Euler's kenmerk van nul. Het kenmerk van Euler kan ook minder zijn dan nul.
De formule van de tweede Euler omvat de wiskundeical constanten e, i, π, 1 en 0. e, wat vaak het nummer van Euler wordt genoemd en een irrationeel getal is dat afloopt tot 2.72. Het denkbeeldige nummer I wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van -1. Pi (π), de relatie tussen de diameter en de omtrek van een cirkel, is ongeveer 3,14 maar is, zoals E, een irrationeel getal.
Deze formule is geschreven als e (i*π) + 1 = 0. Euler ontdekte dat als π werd vervangen voor x in de trigonometrische identiteit e (i*π) = cos (x) + i*sin (x), het resultaat wat nu kennen als Euler's formule. Naast het relateren van deze vijf fundamentele constanten, toont de formule ook aan dat het verhogen van een irrationeel getal naar de kracht van een denkbeeldig irrationeel nummer kan leiden tot een reëel getal.