Wat is de formule van Euler?
De 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontwikkelde twee vergelijkingen die bekend staan als de formule van Euler. Een van deze vergelijkingen heeft betrekking op het aantal hoekpunten, vlakken en randen op een veelvlak. De andere formule relateert de vijf meest voorkomende wiskundige constanten aan elkaar. Deze twee vergelijkingen staan respectievelijk op de tweede en eerste plaats als de meest elegante wiskundige resultaten volgens 'The Mathematical Intelligencer'.
De formule van Euler voor veelvlakken wordt soms ook de stelling van Euler-Descartes genoemd. Het stelt dat het aantal vlakken, plus het aantal hoekpunten, minus het aantal randen op een veelvlak altijd gelijk is aan twee. Het wordt geschreven als F + V - E = 2. Een kubus heeft bijvoorbeeld zes vlakken, acht hoekpunten en 12 randen. Aansluitend op de formule van Euler komt 6 + 8 - 12 eigenlijk overeen met twee.
Er zijn uitzonderingen op deze formule, omdat deze alleen geldt voor een veelvlak dat zichzelf niet kruist. Bekende geometrische vormen, waaronder bollen, kubussen, tetraëders en achthoeken, zijn allemaal niet-kruisende veelvlakken. Een kruisende veelvlak zou echter worden gecreëerd als iemand twee van de hoekpunten van een niet-kruisende veelvlak zou verbinden. Dit zou ertoe leiden dat de veelvlakken hetzelfde aantal vlakken en randen hebben, maar één hoekpunt minder, dus het is duidelijk dat de formule niet langer waar is.
Aan de andere kant kan een meer algemene versie van de formule van Euler worden toegepast op veelvlakken die elkaar kruisen. Deze formule wordt vaak gebruikt in de topologie, dat is de studie van ruimtelijke eigenschappen. In deze versie van de formule is F + V - E gelijk aan een getal dat Euler's karakteristiek wordt genoemd, wat vaak wordt gesymboliseerd door de Griekse letter chi. Zowel de donutvormige torus als de Mobius-strip hebben bijvoorbeeld een Euler-eigenschap nul. Het kenmerk van Euler kan ook minder dan nul zijn.
De formule van de tweede Euler bevat de wiskundige constanten e, i, Π, 1 en 0. E, die vaak het nummer van Euler wordt genoemd en een irrationeel getal is dat afrondt op 2,72. Het denkbeeldige getal i wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van -1. Pi (Π), de relatie tussen de diameter en de omtrek van een cirkel, is ongeveer 3,14 maar is net als e een irrationeel getal.
Deze formule is geschreven als e (i * Π) + 1 = 0. Euler ontdekte dat als Π door x werd vervangen in de trigonometrische identiteit e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x), het resultaat was wat we nu kennen als de formule van Euler. Naast het relateren van deze vijf fundamentele constanten, toont de formule ook aan dat het verhogen van een irrationeel getal tot de macht van een denkbeeldig irrationeel getal kan resulteren in een reëel getal.