오일러의 공식은 무엇입니까?

18 세기 스위스의 수학자 Leonhard Euler는 Euler의 공식으로 알려진 두 가지 방정식을 개발했습니다. 이 방정식 중 하나는 다면체의 꼭지점,면 및 모서리 수와 관련이 있습니다. 다른 공식은 가장 일반적인 5 개의 수학 상수를 서로 관련시킵니다. 이 두 방정식은 "The Mathematical Intelligencer"에 따르면 가장 우아한 수학적 결과로 각각 2 위와 1 위를 차지했습니다.

다면체에 대한 오일러의 공식은 때로는 오일러 데카르트 정리라고도합니다. 그것은면의 수와 꼭짓점의 수에 다면체의 모서리 수를 뺀 값은 항상 2와 같다고 말합니다. F + V-E = 2로 작성됩니다. 예를 들어, 큐브에는 6 개의면, 8 개의 꼭지점 및 12 개의 가장자리가 있습니다. 오일러의 공식에 연결하면 6 + 8-12는 실제로 2와 같습니다.

이 수식에는 예외가 있는데, 그 자체가 교차하지 않는 다면체에만 적용되기 때문입니다. 구, 입방체, 4 면체 및 8 각형을 포함한 잘 알려진 기하학적 모양은 모두 교차하지 않는 다면체입니다. 그러나 누군가가 교차하지 않는 다면체의 두 정점에 합류하면 교차 다면체가 만들어집니다. 이로 인해 다면체는 같은 수의면과 모서리를 가지지 만 버텍스는 더 적어 지므로 공식이 더 이상 사실이 아님이 분명합니다.

다른 한편으로, 더 일반적인 버전의 오일러 공식은 서로 교차하는 다면체에 적용될 수 있습니다. 이 공식은 종종 공간 특성에 대한 연구 인 토폴로지에서 사용됩니다. 이 버전의 공식에서 F + V-E는 Euler의 특성이라고하는 숫자와 같으며 종종 그리스 문자 chi로 상징됩니다. 예를 들어, 도넛 모양의 원환 체와 뫼비우스 띠는 오일러의 특성이 0입니다. 오일러의 특성은 0보다 작을 수도 있습니다.

두 번째 Euler의 공식에는 수학 상수 e, i, Π, 1 및 0이 포함됩니다. E는 종종 Euler의 수라고하며 2.72로 반올림하는 비합리적인 수입니다. 허수 i는 -1의 제곱근으로 정의됩니다. 원의 지름과 원주 사이의 관계인 Pi (Π)는 약 3.14이지만 e와 같이 비이성적 인 숫자입니다.

이 공식은 e ^{(i * Π)} + 1 = 0으로 쓰여집니다. 오일러는 삼각 식에서 e가 ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x)로 x를 대치하면 결과가 우리는 지금 오일러의 공식으로 알고있었습니다. 이 다섯 가지 기본 상수를 관련시키는 것 외에도, 수식은 또한 비이성 수를 허 수비의 거듭 제곱으로 올리면 실수가 될 수 있음을 보여줍니다.