Quelle est la formule d'Euler?
Le mathématicien suisse Leonhard Euler du XVIIIe siècle a développé deux équations connues sous le nom de formule d'Euler. L'une de ces équations concerne le nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre. L'autre formule relie les cinq constantes mathématiques les plus courantes. Selon "The Mathematical Intelligencer", ces deux équations se classaient respectivement à la deuxième et à la première place des résultats mathématiques les plus élégants.
La formule d'Euler pour les polyèdres est parfois aussi appelée le théorème d'Euler-Descartes. Il indique que le nombre de faces, plus le nombre de sommets, moins le nombre d'arêtes d'un polyèdre est toujours égal à deux. Il est écrit F + V - E = 2. Par exemple, un cube a six faces, huit sommets et 12 arêtes. En se connectant à la formule d’Euler, 6 + 8 - 12 en fait deux.
Il existe des exceptions à cette formule, car elle n’est valable que pour un polyèdre qui ne se croise pas. Les formes géométriques bien connues, notamment les sphères, les cubes, les tétraèdres et les octogones, sont tous des polyèdres non sécants. Un polyèdre en intersection serait créé, toutefois, si quelqu'un devait joindre deux des sommets d'un polyèdre non en intersection. Cela donnerait au polyèdre le même nombre de faces et d'arêtes, mais un sommet de moins, il est donc évident que la formule n'est plus vraie.
D'autre part, une version plus générale de la formule d'Euler peut être appliquée aux polyèdres qui se croisent. Cette formule est souvent utilisée en topologie, c'est-à-dire l'étude des propriétés spatiales. Dans cette version de la formule, F + V - E est égal à un nombre appelé caractéristique d'Euler, qui est souvent symbolisé par la lettre grecque chi. Par exemple, le tore en forme de beignet et la bande de Mobius ont une caractéristique de Euler de zéro. La caractéristique d'Euler peut également être inférieure à zéro.
La seconde formule d'Euler comprend les constantes mathématiques e, i,, 1 et 0. E, souvent appelé le nombre d'Euler et qui est un nombre irrationnel arrondi à 2,72. Le nombre imaginaire i est défini comme la racine carrée de -1. Pi (), la relation entre le diamètre et la circonférence d'un cercle, est d'environ 3,14 mais, comme e, est un nombre irrationnel.
Cette formule est écrite comme e (i * Π) + 1 = 0. Euler a découvert que si Π était substitué à x dans l'identité trigonométrique e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x), le résultat était ce que nous connaissons maintenant comme la formule d'Euler. En plus de relier ces cinq constantes fondamentales, la formule montre également que le fait d'élever un nombre irrationnel à la puissance d'un nombre irrationnel imaginaire peut donner un nombre réel.