Co to jest formuła Eulera?

XVIII-wieczny szwajcarski matematyk Leonhard Euler opracował dwa równania, które stały się znane jako formuła Eulera. Jedno z tych równań dotyczy liczby wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu. Druga formuła wiąże ze sobą pięć najczęściej występujących stałych matematycznych. Te dwa równania uplasowały się odpowiednio na drugim i pierwszym miejscu, jako najbardziej eleganckie wyniki matematyczne według „The Mathematical Intelligencer”.

Wzór Eulera na wielościany jest czasem nazywany również twierdzeniem Eulera-Kartezjusza. Stwierdza, że ​​liczba ścian plus liczba wierzchołków minus liczba krawędzi wielościanu zawsze wynosi dwa. Jest zapisany jako F + V - E = 2. Na przykład sześcian ma sześć ścian, osiem wierzchołków i 12 krawędzi. Podłączenie do wzoru Eulera, 6 + 8 - 12, w rzeczywistości równa się dwa.

Istnieją wyjątki od tej formuły, ponieważ dotyczy ona tylko wielościanu, który się nie przecina. Dobrze znane kształty geometryczne, w tym kule, sześciany, czworościany i ośmiokąty, są nieprzecinającymi się wielościanami. Jednak przecinający się wielościan zostałby utworzony, gdyby ktoś połączył dwa z wierzchołków nie przecinającego się wielościanu. Spowodowałoby to, że wielościan miałby taką samą liczbę ścian i krawędzi, ale o jeden mniejszy wierzchołek, więc oczywiste jest, że formuła nie jest już prawdziwa.

Z drugiej strony bardziej ogólną wersję formuły Eulera można zastosować do przecinających się wielościanów. Ta formuła jest często stosowana w topologii, czyli badaniu właściwości przestrzennych. W tej wersji wzoru F + V - E jest równe liczbie zwanej cechą Eulera, która często jest symbolizowana grecką literą chi. Na przykład zarówno torus w kształcie pączka, jak i pasek Mobiusa mają charakterystykę Eulera wynoszącą zero. Charakterystyka Eulera może być również mniejsza niż zero.

Druga formuła Eulera obejmuje stałe matematyczne e, i, Π, 1 i 0. E, która jest często nazywana liczbą Eulera i jest liczbą niewymierną, która zaokrągla do 2,72. Liczba urojona i jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z -1. Pi (Π), związek między średnicą a obwodem koła, wynosi około 3,14, ale, podobnie jak e, jest liczbą niewymierną.

Ta formuła jest zapisywana jako e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Euler odkrył, że jeśli Π zostało zastąpione x w tożsamości trygonometrycznej e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), wynik to, co obecnie znamy jako formuła Eulera. Oprócz powiązania tych pięciu podstawowych stałych, formuła pokazuje również, że podniesienie liczby niewymiernej do potęgi urojonej liczby niewymiernej może dać liczbę rzeczywistą.