Jaka jest formuła Eulera?

XVIII-wieczny szwajcarski matematyk Leonhard Euler opracował dwa równania, które okazały się znane jako formuła Eulera. Jedno z tych równań dotyczy liczby wierzchołków, twarzy i krawędzi na wielościan. Druga formuła dotyczy ze sobą pięciu najczęstszych stałych matematycznych. Te dwa równania zajęły odpowiednio drugie i pierwsze, jako najbardziej eleganckie wyniki matematyczne według „Matematycznego inteligentu”. ”

Wzór Eulera dla wielościanów jest czasem również nazywany twierdzeniem Euler-Descartes. Stwierdza, że ​​liczba twarzy oraz liczba wierzchołków, pomniejszona o liczbę krawędzi wielościennictwa, zawsze równa się dwóch. Jest napisany jako F + V - E = 2. Na przykład kostka ma sześć twarzy, osiem wierzchołków i 12 krawędzi. Podłączenie do wzoru Eulera, 6 + 8 - 12, w rzeczywistości jest równe dwa.

Istnieją wyjątki od tej formuły, ponieważ dotyczy tylko wielościanu, który się nie przecina. Dobrze znane kształty geometryczne, w tym kule, młodeES, Tetrahedra i Octagony nie są przesyłającymi wielościanami. Jednak przecinający się wielościan zostałby stworzony, gdyby ktoś dołączył do dwóch wierzchołków nieinteresownego wielościanu. Spowodowałoby to, że wielościan miałby taką samą liczbę twarzy i krawędzi, ale o jedną mniejszą wierzchołek, więc oczywiste jest, że formuła nie jest już prawdziwa.

Z drugiej strony

bardziej ogólna wersja formuły Eulera można zastosować do wielościanów, która się przecina. Ta formuła jest często stosowana w topologii, która jest badaniem właściwości przestrzennych. W tej wersji formuły F + V - e jest równe liczbie zwanej cechą Eulera, którą często symbolizuje greckie literę Chi. Na przykład zarówno torus w kształcie pączku, jak i pasek Mobius mają charakterystykę Eulera zero. Charakterystyka Eulera może być również mniejsza niż zerowa.

Formuła drugiego Eulera obejmuje matematykęstałe i, i, π, 1 i 0. E, które często nazywane są liczbą Eulera i jest liczbą irracjonalną, która okrąża 2,72. Wyimaginowana liczba I jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy -1. Pi (π), związek między średnicą a obwodem koła wynosi około 3,14, ale, podobnie jak E, jest liczbą irracjonalną.

Ta formuła jest zapisywana jako E ^{(i*π) + 1 = 0. Euler odkrył, że jeśli π zastąpiono x w tożsamości trójgonometrycznej E (i*π) = cos (x) + i*sin (x), wynik był tym, co teraz znaliśmy jako formułę eeulera. Oprócz powiązania tych pięciu podstawowych stałych, formuła pokazuje również, że podniesienie liczby irracjonalnej do mocy wyimaginowanej liczby irracjonalnych może powodować liczbę rzeczywistą.}