Qual è la formula di Eulero?
Il matematico svizzero del XVIII secolo Leonhard Euler sviluppò due equazioni che sono diventate note come formula di Eulero. Una di queste equazioni riguarda il numero di vertici, facce e bordi di un poliedro. L'altra formula mette in relazione le cinque costanti matematiche più comuni tra loro. Queste due equazioni si classificarono rispettivamente al secondo e al primo posto come i risultati matematici più eleganti secondo "The Mathematical Intelligencer".
La formula di Eulero per i poliedri è talvolta chiamata anche teorema di Eulero-Cartesio. Indica che il numero di facce, più il numero di vertici, meno il numero di spigoli su un poliedro è sempre uguale a due. È scritto come F + V - E = 2. Ad esempio, un cubo ha sei facce, otto vertici e 12 spigoli. Inserendo la formula di Eulero, 6 + 8 - 12, infatti, equivalgono a due.
Ci sono eccezioni a questa formula, perché vale solo per un poliedro che non si interseca. Le forme geometriche ben note tra cui sfere, cubi, tetraedri e ottagoni sono tutti poliedri non intersecanti. Un poliedro intersecante verrebbe creato, tuttavia, se qualcuno dovesse unire due dei vertici di un poliedro non intersecante. Ciò comporterebbe che il poliedro avesse lo stesso numero di facce e spigoli, ma un vertice in meno, quindi è ovvio che la formula non è più vera.
D'altra parte, una versione più generale della formula di Eulero può essere applicata ai poliedri che si intersecano. Questa formula viene spesso utilizzata nella topologia, che è lo studio delle proprietà spaziali. In questa versione della formula, F + V - E è uguale a un numero chiamato caratteristica di Eulero, che è spesso simboleggiato dalla lettera greca chi. Ad esempio, sia il toro a forma di ciambella che la striscia di Mobius hanno una caratteristica di Eulero pari a zero. La caratteristica di Eulero può anche essere inferiore a zero.
La formula del secondo Eulero include le costanti matematiche e, i, Π, 1 e 0. E, che è spesso chiamato numero di Eulero ed è un numero irrazionale che arriva a 2,72. Il numero immaginario i è definito come la radice quadrata di -1. Pi (Π), la relazione tra il diametro e la circonferenza di un cerchio, è di circa 3,14 ma, come e, è un numero irrazionale.
Questa formula è scritta come e (i * Π) + 1 = 0. Euler ha scoperto che se Π è stato sostituito con x nell'identità trigonometrica e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x), il risultato era quella che ora conosciamo come la formula di Eulero. Oltre a mettere in relazione queste cinque costanti fondamentali, la formula dimostra anche che l'innalzamento di un numero irrazionale alla potenza di un numero irrazionale immaginario può comportare un numero reale.