Hva er Eulers formel?

1700-tallets sveitsiske matematiker Leonhard Euler utviklet to ligninger som har blitt kjent som Eulers formel. En av disse ligningene relaterer antall hjørner, ansikter og kanter på en polyhedron. Den andre formelen knytter de fem vanligste matematiske konstantene til hverandre. Disse to ligningene rangerte henholdsvis andre og første som de mest elegante matematiske resultatene i henhold til "The Mathematical Intelligencer."

Eulers formel for Polyhedra kalles noen ganger også Euler-Descartes teorem. Den sier at antall ansikter, pluss antall hjørner, minus antall kanter på en polyhedron alltid tilsvarer to. Det er skrevet som F + V - E = 2. For eksempel har en kube seks ansikter, åtte hjørner og 12 kanter. Å koble til Eulers formel, 6 + 8 - 12 er faktisk like to.

Det er unntak fra denne formelen, fordi den bare stemmer for en polyhedron som ikke krysser seg selv. Velkjente geometriske former inkludert kuler, CubES, Tetrahedra og oktagoner er alle ikke-interesserende polyhedra. En kryssende polyhedron vil imidlertid bli opprettet, men hvis noen skulle bli med i to av toppunktene til en ikke-interesserende polyhedron. Dette vil resultere i at polyhedronen har samme antall ansikter og kanter, men en færre vertice, så det er åpenbart at formelen ikke lenger er sann.

På den annen side kan en mer generell versjon av Eulers formel brukes på polyhedra som krysser seg selv. Denne formelen brukes ofte i topologi, som er studiet av romlige egenskaper. I denne versjonen av formelen er F + V - E lik et tall som kalles Eulers karakteristikk, som ofte symboliseres av den greske bokstaven Chi. For eksempel har både den smultringformede torus og Mobius-stripen en Eulers kjennetegn på null. Eulers karakteristikk kan også være mindre enn null.

Den andre Eulers formel inkluderer matematenical Constants E, I, π, 1 og 0. E, som ofte kalles Eulers nummer og er et irrasjonelt tall som runder til 2,72. Det imaginære tallet I er definert som kvadratroten av -1. Pi (π), forholdet mellom diameter og omkrets av en sirkel, er omtrent 3,14, men er, som e, et irrasjonelt tall.

Denne formelen er skrevet som E ^{(i*π) + 1 = 0. Euler oppdaget at hvis π ble erstattet med x i den trigonometriske identiteten E (i*π) = cos (x) + i*sin (x), var resultatet det vi nå kjenner som Euler formula. I tillegg til å relatere disse fem grunnleggende konstantene, viser formelen også at å heve et irrasjonelt antall til kraften til et imaginært irrasjonelt antall kan resultere i et reelt tall.}