Hva er Eulers formel?

1700-tallets sveitsiske matematiker Leonhard Euler utviklet to ligninger som har blitt kjent som Eulers formel. En av disse ligningene angir antall toppunkt, flater og kanter på en polyhedron. Den andre formelen knytter de fem vanligste matematiske konstantene til hverandre. Disse to ligningene rangerte henholdsvis andre og første som de mest elegante matematiske resultatene i henhold til "The Mathematical Intelligencer."

Eulers formel for polyeder kalles noen ganger også Euler-Descartes teorem. Den slår fast at antall ansikter pluss antall toppunkt minus antall kanter på en polyhedron alltid tilsvarer to. Den er skrevet som F + V - E = 2. For eksempel har en kube seks ansikter, åtte hjørner og 12 kanter. Å koble seg inn i Euler formel, 6 + 8 - 12 tilsvarer faktisk to.

Det er unntak fra denne formelen, fordi den bare gjelder for en polyhedron som ikke krysser seg selv. Velkjente geometriske former inkludert kuler, terninger, tetraedre og oktagoner er alle ikke-kryssende polyeder. En kryssende polyhedron ville imidlertid bli opprettet hvis noen skulle gå sammen med to av toppunktene til en ikke-kryssende polyhedron. Dette vil føre til at polyhedronen har det samme antallet flater og kanter, men en mindre vertice, så det er åpenbart at formelen ikke lenger er sann.

På den annen side kan en mer generell versjon av Eulers formel brukes på polyeder som skjærer hverandre. Denne formelen brukes ofte i topologi, som er studiet av romlige egenskaper. I denne versjonen av formelen er F + V - E lik et tall som kalles Eulers karakteristikk, som ofte symboliseres med den greske bokstaven chi. For eksempel har både den smultringformede torusen og Mobius-stripen en Eulers karakteristikk av null. Eulers karakteristikk kan også være mindre enn null.

Den andre Eulers formel inkluderer de matematiske konstantene e, i, Π, 1 og 0. E, som ofte kalles Eulers tall og er et irrasjonelt tall som runder til 2,72. Det imaginære tallet i er definert som kvadratroten av -1. Pi (Π), forholdet mellom diameteren og omkretsen til en sirkel, er omtrent 3,14, men er, som e, et irrasjonelt tall.

Denne formelen er skrevet som e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Euler oppdaget at hvis Π ble erstattet med x i den trigonometriske identiteten e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), ville resultatet var det vi nå vet som Eulers formel. I tillegg til å relatere disse fem grunnleggende konstantene, demonstrerer formelen også at å heve et irrasjonelt tall til kraften til et tenkt irrasjonelt tall kan resultere i et reelt tall.