Vad är Eulers formel?

1700-talets schweiziska matematiker Leonhard Euler utvecklade två ekvationer som har blivit kända som Eulers formel. En av dessa ekvationer hänför sig till antalet vertikaler, ytor och kanter på en polyhedron. Den andra formeln relaterar de fem vanligaste matematiska konstanterna till varandra. Dessa två ekvationer rangordnade andra respektive först som de mest eleganta matematiska resultaten enligt "The Mathematical Intelligencer."

Eulers formel för polyedra kallas ibland också Euler-Descartes teorem. Den anger att antalet ansikten, plus antalet vertikaler minus antalet kanter på en polyhedron alltid är lika med två. Den är skriven som F + V - E = 2. En kub har till exempel sex ansikten, åtta vertikaler och 12 kanter. Genom att ansluta till Eulers formel, är 6 + 8 - 12 faktiskt lika två.

Det finns undantag från denna formel, eftersom den bara gäller för en polyhedron som inte korsar sig själv. Välkända geometriska former inklusive sfärer, kuber, tetraedra och oktagoner är alla icke-korsande polyeder. En korsande polyhedron skulle emellertid skapas om någon skulle gå ihop med två av topparna på en icke-korsande polyhedron. Detta skulle resultera i att polyhedronen har samma antal ytor och kanter, men en färre vertic, så det är uppenbart att formeln inte längre är sant.

Å andra sidan kan en mer allmän version av Eulers formel tillämpas på polyeder som skär varandra. Denna formel används ofta inom topologi, som är studien av rumsliga egenskaper. I denna version av formeln är F + V - E lika med ett nummer som kallas Eulers kännetecken, som ofta symboliseras av den grekiska bokstaven chi. Till exempel har både den munkformade torusen och Mobius-remsan en Eulers kännetecken på noll. Eulers kännetecken kan också vara mindre än noll.

Den andra Eulers formel inkluderar de matematiska konstanterna e, i, Π, 1 och 0. E, som ofta kallas Eulers nummer och är ett irrationellt nummer som avrundar till 2,72. Det imaginära antalet i definieras som kvadratroten -1. Pi (Π), förhållandet mellan diametern och periferin för en cirkel, är ungefär 3,14 men är, liksom e, ett irrationellt tal.

Denna formel är skriven som e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Euler upptäckte att om Π ersattes av x i den trigonometriska identiteten e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), blir resultatet var vad vi nu känner som Eulers formel. Förutom att relatera till dessa fem grundläggande konstanter, visar formeln också att höja ett irrationellt tal till kraften hos ett imaginärt irrationellt nummer kan resultera i ett verkligt tal.