Vad är Eulers formel?

1700-talets schweiziska matematiker Leonhard Euler utvecklade två ekvationer som har blivit kända som Eulers formel. En av dessa ekvationer relaterar antalet vertikaler, ansikten och kanter på en polyhedron. Den andra formeln relaterar de fem vanligaste matematiska konstanterna till varandra. Dessa två ekvationer rankade andra respektive första, som de mest eleganta matematiska resultaten enligt "The Mathematical Intelligencer."

Eulers formel för polyhedra kallas ibland också Euler-Descartes-teoremet. Den säger att antalet ansikten, plus antalet vertikaler, minus antalet kanter på en polyhedron alltid är lika med två. Det är skrivet som f + v - e = 2. till exempel, en kub har sex ansikten, åtta vertikaler och 12 kanter. Plugging till Eulers formel, 6 + 8 - 12, i själva verket är lika med två.

Det finns undantag från denna formel, eftersom den bara gäller för en polyhedron som inte korsar sig själv. Välkända geometriska former inklusive sfärer, cubES, tetrahedra och oktagoner är alla icke-tvärgående polyhedra. En korsande polyhedron skulle emellertid skapas om någon skulle gå med i två av vertikalerna i en icke-tvärgående polyhedron. Detta skulle resultera i att polyhedronen har samma antal ansikten och kanter, men en färre vertice, så det är uppenbart att formeln inte längre är sant.

Å andra sidan kan en mer allmän version av Eulers formel tillämpas på polyhedra som korsar sig själva. Denna formel används ofta i topologi, som är studien av rumsliga egenskaper. I denna version av formeln är F + V - E lika med ett nummer som kallas Eulers egenskap, som ofta symboliseras av den grekiska bokstaven Chi. Till exempel har både den munkformade Torus och Mobius-remsan en Eulers egenskap av noll. Eulers egenskap kan också vara mindre än noll.

Den andra Eulers formel innehåller matematIcal Constants E, I, π, 1 och 0. E, som ofta kallas Eulers nummer och är ett irrationellt antal som rundas till 2,72. Det imaginära numret I definieras som kvadratroten på -1. Pi (π), förhållandet mellan diametern och omkretsen i en cirkel, är ungefär 3,14 men, som E, är ett irrationellt antal.

Denna formel är skriven som e ^(i*π) + 1 = 0. Euler upptäckte att om π ersattes av x i den trigonometriska identiteten e ^(i*π) = cos (x) + i*sin (x), var resultatet vad vi nu vet som Euler's formel. Förutom att relatera dessa fem grundläggande konstanter visar formeln också att höja ett irrationellt antal till kraften i ett imaginärt irrationellt antal kan resultera i ett verkligt antal.