O que é a fórmula de Euler?
O matemático suíço do século XVIII Leonhard Euler desenvolveu duas equações que passaram a ser conhecidas como fórmula de Euler. Uma dessas equações relaciona o número de vértices, faces e arestas em um poliedro. A outra fórmula relaciona as cinco constantes matemáticas mais comuns entre si. Essas duas equações classificaram a segunda e a primeira, respectivamente, como os resultados matemáticos mais elegantes, de acordo com "The Mathematical Intelligencer".
A fórmula de Euler para poliedros também é chamada de teorema de Euler-Descartes. Ele afirma que o número de faces, mais o número de vértices, menos o número de arestas em um poliedro sempre é igual a dois. Está escrito como F + V - E = 2. Por exemplo, um cubo tem seis faces, oito vértices e 12 arestas. Conectando-se à fórmula de Euler, 6 + 8 - 12 é de fato igual a dois.
Há exceções a essa fórmula, porque ela só é válida para um poliedro que não se cruza. Formas geométricas conhecidas, incluindo esferas, cubos, tetraedros e octógonos, são todos poliedros que não se cruzam. Um poliedro de interseção seria criado, no entanto, se alguém juntasse dois dos vértices de um poliedro sem interseção. Isso resultaria no poliedro com o mesmo número de faces e arestas, mas com menos um vértice, portanto, é óbvio que a fórmula não é mais verdadeira.
Por outro lado, uma versão mais geral da fórmula de Euler pode ser aplicada aos poliedros que se cruzam. Essa fórmula é frequentemente usada em topologia, que é o estudo de propriedades espaciais. Nesta versão da fórmula, F + V - E é igual a um número chamado característica de Euler, que geralmente é simbolizado pela letra grega chi. Por exemplo, o toro em forma de anel e a faixa Mobius têm a característica de zero de Euler. A característica de Euler também pode ser menor que zero.
A fórmula do segundo Euler inclui as constantes matemáticas e, i, Π, 1 e 0. E, que é freqüentemente chamado número de Euler e é um número irracional que arredonda para 2,72. O número imaginário i é definido como a raiz quadrada de -1. Pi (Π), a relação entre o diâmetro e a circunferência de um círculo, é de aproximadamente 3,14, mas, como e, é um número irracional.
Essa fórmula é escrita como e (i * Π) + 1 = 0. Euler descobriu que se Π foi substituído por x na identidade trigonométrica e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x), o resultado era o que agora conhecemos como a fórmula de Euler. Além de relacionar essas cinco constantes fundamentais, a fórmula também demonstra que aumentar um número irracional à potência de um número irracional imaginário pode resultar em um número real.