オイラーの式とは？

18世紀のスイスの数学者レオンハルトオイラーは、オイラーの公式として知られるようになった2つの方程式を開発しました。 これらの方程式の1つは、多面体の頂点、面、およびエッジの数に関連しています。 もう1つの式は、最も一般的な5つの数学定数を相互に関連付けます。 これらの2つの方程式は、それぞれ「The Mathematical Intelligencer」による最もエレガントな数学結果として、2番目と1番目にランク付けされました。

多面体のオイラーの公式は、オイラー-デカルトの定理とも呼ばれます。 これは、面の数に頂点の数を加えたものから、多面体のエッジの数を引いたものが常に2に等しいことを示しています。 F + V-E = 2と記述されます。たとえば、立方体には6つの面、8つの頂点、12のエッジがあります。 オイラーの公式に代入すると、6 + 8-12は実際には2に等しくなります。

この式には例外があります。これは、それ自体と交差しない多面体に対してのみ当てはまるためです。 球、立方体、四面体、八角形などのよく知られた幾何学的形状は、すべて交差しない多面体です。 ただし、交差しない多面体の2つの頂点を誰かが結合すると、交差する多面体が作成されます。 これにより、多面体の面とエッジの数は同じになりますが、頂点は1つ少なくなります。そのため、式がもはや正しくないことは明らかです。

一方、オイラーの公式のより一般的なバージョンは、交差する多面体に適用できます。 この式は、空間特性の研究であるトポロジでよく使用されます。 このバージョンの式では、F + V-Eはオイラーの特性と呼ばれる数に等しく、多くの場合ギリシャ文字のchiで象徴されます。 たとえば、ドーナツ型のトーラスとメビウスの帯は両方ともオイラーの特性がゼロです。 オイラーの特性はゼロよりも小さい場合があります。

2番目のオイラーの公式には、数学定数e、i、Π、1、および0が含まれています。Eは、オイラー数と呼ばれ、2.72に丸められる無理数です。 虚数iは、-1の平方根として定義されます。 円の直径と円周の関係であるPi（Π）は約3.14ですが、eと同様に無理数です。

この式は、e ^{（i *Π）} + 1 = 0と記述されます。オイラーは、三角関数のアイデンティティe ^{（i *Π）} = cos（x）+ i * sin（x）でxをΠに置き換えると、結果がオイラーの公式として私たちが今知っていることでした。 これらの5つの基本定数を関連付けることに加えて、この式は、無理数を虚数の無理数の累乗にすると、実数になることも示しています。