Hvad er Eulers formel?
Det schweiziske matematik fra det 18. århundrede Leonhard Euler udviklede to ligninger, der er blevet kendt som Eulers formel. En af disse ligninger angår antallet af vertikater, flader og kanter på en polyhedron. Den anden formel relaterer de fem mest almindelige matematiske konstanter til hinanden. Disse to ligninger rangerede henholdsvis anden og første som de mest elegante matematiske resultater i henhold til "The Mathematical Intelligencer."
Eulers formel for polyhedra kaldes undertiden også Euler-Descartes teorem. Den angiver, at antallet af ansigter plus antallet af vertikuer minus antallet af kanter på en polyhedron altid er lig med to. Det er skrevet som F + V - E = 2. For eksempel har en terning seks flader, otte hjørner og 12 kanter. Tilslutning til Eulers formel, 6 + 8 - 12 er faktisk lig med to.
Der er undtagelser fra denne formel, fordi den kun gælder for en polyhedron, der ikke krydser sig selv. Kendte geometriske former, herunder kugler, terninger, tetraeder og ottagoner er alle ikke-krydsende polyeder. En krydsende polyhedron ville imidlertid blive oprettet, hvis nogen skulle forbinde to af vertikuerne på en ikke-krydsende polyhedron. Dette ville resultere i, at polyhedronen har det samme antal flader og kanter, men en færre vertice, så det er åbenlyst, at formlen ikke længere er sand.
På den anden side kan en mere generel version af Eulers formel anvendes på polyhedra, der skærer hinanden. Denne formel bruges ofte i topologi, som er studiet af rumlige egenskaber. I denne version af formlen er F + V - E lig med et tal kaldet Eulers karakteristik, som ofte symboliseres med det græske bogstav chi. For eksempel har både den doughnutformede torus og Mobius-strimlen en Eulers karakteristik af nul. Eulers karakteristik kan også være mindre end nul.
Den anden Eulers formel inkluderer de matematiske konstanter e, i, Π, 1 og 0. E, der ofte kaldes Eulers tal og er et irrationelt tal, der runder til 2,72. Det imaginære tal i er defineret som kvadratroten -1. Pi (Π), forholdet mellem diameter og omkreds af en cirkel, er ca. 3,14, men er ligesom e et irrationelt tal.
Denne formel er skrevet som e (i * Π) + 1 = 0. Euler opdagede, at hvis Π blev erstattet med x i den trigonometriske identitet e (i * Π) = cos (x) + i * sin (x), ville resultatet var hvad vi nu kender som Eulers formel. Foruden at relatere til disse fem grundlæggende konstanter, demonstrerer formlen også, at hæve et irrationelt tal til magten af et imaginært irrationelt tal kan resultere i et reelt tal.