Hvad er Eulers formel?
Det schweiziske matematiker Leonhard Euler fra det 18. århundrede udviklede to ligninger, der er blevet kendt som Eulers formel. En af disse ligninger relaterer antallet af vertikater, ansigter og kanter på en polyhedron. Den anden formel relaterer de fem mest almindelige matematiske konstanter til hinanden. Disse to ligninger rangerede henholdsvis anden og først som de mest elegante matematiske resultater i henhold til "den matematiske intelligencer."
Eulers formel for Polyhedra kaldes undertiden også Euler-Descartes-sætningen. Det hedder, at antallet af ansigter plus antallet af vertikater minus antallet af kanter på en polyhedron altid er lig med to. Det er skrevet som F + V - E = 2.. For eksempel har en terning seks ansigter, otte hjørner og 12 kanter. Tilslutning til Eulers formel, 6 + 8 - 12 gælder faktisk lige to.
Der er undtagelser fra denne formel, fordi det kun gælder for en polyhedron, der ikke krydser sig selv. Velkendte geometriske former inklusive kugler, cubES, Tetrahedra og Octagons er alle ikke-uoverensstemmende polyhedra. Der ville dog blive oprettet en krydsende polyhedron, hvis nogen skulle deltage i to af hjørnetierne i en ikke-sammenknyttet polyhedron. Dette ville resultere i, at polyhedronen har det samme antal ansigter og kanter, men en færre vertice, så det er åbenlyst, at formlen ikke længere er sandt.
På den anden side kan en mere generel version af Eulers formel anvendes på Polyhedra, der krydser sig selv. Denne formel bruges ofte i topologi, som er studiet af rumlige egenskaber. I denne version af formlen er F + V - E lig med et tal kaldet Eulers egenskab, som ofte symboliseres af det græske brev Chi. For eksempel har både den donutformede Torus og Mobius Strip en Eulers karakteristik for nul. Eulers egenskab kan også være mindre end nul.
Den anden Eulers formel inkluderer matematenical constants e, i, π, 1 og 0. E, der ofte kaldes Eulers nummer og er et irrationelt antal, der runder til 2,72. Det imaginære nummer I er defineret som kvadratroten på -1. Pi (π), forholdet mellem diameter og omkreds af en cirkel, er ca. 3,14, men er ligesom E et irrationelt tal.
Denne formel er skrevet som e (i*π) + 1 = 0. Euler opdagede, at hvis π blev erstattet med x i den trigonometriske identitet e (i*π) = cos (x) + i*sin (x), var resultatet, hvad vi nu kender som eulers formula. Ud over at forholde disse fem grundlæggende konstanter demonstrerer formlen også, at det at hæve et irrationelt antal til kraften i et imaginært irrationelt antal kan resultere i et reelt tal.