Was ist der Erwartungswert?
Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert einer unbekannten Variablen, der aus einer großen Anzahl von Experimenten erhalten wurde. Wenn ein Experiment oder eine Messung mehrmals durchgeführt wird, wird erwartet, dass das Ergebnis dieser Experimente variiert. Ein Erwartungswert sagt einfach den gewichteten Durchschnitt für alle diese Werte voraus. Es ist ein Konzept, das sowohl in der Quantenphysik als auch in der Statistik häufig verwendet wird.
Der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse wird berechnet, indem jede potenzielle Variable mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert wird. Alle diese Werte werden addiert und durch die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten oder möglichen Ergebnisse dividiert. Eine einfache Illustration ist das Werfen einer Münze. Es gibt eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass ein Flip zu einem Kopf und eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass er zu einem Schwanz führt.
In diesem Szenario gibt es zwei mögliche Ergebnisse. Jedes mögliche Ergebnis wird mit 0,50 multipliziert. Addiert man diese beiden Zahlen, ergibt sich eine Summe von 1,00, die dann durch zwei geteilt wird. Der erwartete Wert für einen Münzwurf beträgt 0,50.
Die meisten Berechnungen mit dem Erwartungswert sind jedoch komplexer als ein Münzwurf. Sie beinhalten typischerweise eine Vielzahl von Möglichkeiten und gewichteten Wahrscheinlichkeiten. Ein Erwartungswert ist einfach eine Vorhersage. Es kann kein tatsächliches Ergebnis berechnet werden, sondern nur der Mittelwert oder Durchschnitt dieser Ergebnisse.
Oft werden Stichproben verwendet, um die Ergebnisse größerer Populationen vorherzusagen. Bei der Berechnung des Erwartungswerts eines Stichprobenumfangs wird angenommen, dass sein Mittelwert dem Durchschnitt der größeren Grundgesamtheit entspricht. Stichprobengrößen sind kleinere Darstellungen ganzer Populationen und werden verwendet, da es nicht möglich ist, jede einzelne vorhandene Variable zu testen oder zu messen.
Es besteht immer die Möglichkeit, dass das tatsächliche Ergebnis eines Experiments stark vom Durchschnitt abweicht. In den meisten Fällen liegt etwa die Hälfte dieser Werte über dem Mittelwert oder dem Erwartungswert. Die andere Hälfte unterschreitet den Mittelwert. Bei Populationen, die nach links vom Mittelwert verschoben sind, liegt ein höherer Anteil der tatsächlichen Experimentwerte unter dem Mittelwert. Bei Populationen, die nach rechts geneigt sind, liegen die meisten tatsächlichen Werte irgendwo über dem Mittelwert.
In Bezug auf die Quantenphysik ist der Erwartungswert die durchschnittliche Energiemenge, die von einer großen Gruppe von Atomteilchen erwartet werden kann. Die Energieladung bezieht sich auf die Umlaufbahn des Teilchens. Es gibt die Anzahl der Grade an, um die sich diese Partikel wahrscheinlich als Reaktion auf externe Energiequellen oder Magnetfelder bewegen. Der Erwartungswert der Energie würde einen durchschnittlichen Betrag der erwarteten Bewegung in einer Gruppe von Partikeln widerspiegeln.